بماذا تتأثر عملية سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما من الناحية الرياضية؟

1 إجابة واحدة

هناك حقيقة العديد من العوامل التي تؤثر بعملية سقوط الأجسام ومنها:

الوزن: بالعودة لأن تسارع السقوط الحر لجسم ما بقرب سطح الأرض يساوي تقريباً 9.80 متر/ثانية مربع فإن القوة المسببة لهذا التسارع تسمى بوزن الغرض، ومن قانون نيوتن الثاني فإن الوزن يعطى بالعلاقة W=mg حيث g ثابت تسارع الجاذبية الأرضية و m كتلة الجسم، وهذا الوزن موجود بغض النظر إذا كان الجسم يسقط سقوطاً حراً، وبالتالي القوة بين الجسم والأرض تدعى قوة الجاذبية، وبالتعويض في قانون نيوتن للجاذبية الكونية تنتج المعادلة التالية:

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

حيث r هي المسافة بين مركز الجسم ومركز الأرض. يبلغ نصف قطر الأرض وسطياً حوالي 6370 كيلومتراً، وبالتالي ولأجسام تبعد بعض الكيلومترات عن سطح الأرض يمكن أن نأخذ أن r=RE (كما موضح بالشكل أدناه)

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

وباختصار الكتلة من طرفي العلاقة السابقة نصل للعلاقة التالية

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

ويفسر هذا لماذا تسقط جميع الكتل سقوطاً حراً بنفس التسارع، ومع تجاهل حقيقة أن الأرض تتسارع أيضاً باتجاه الجسم الساقط، ولكن يعتبر ذلك مقبول طالما أن كتلة الأرض أكبر بكثير من كتلة الجسم.

حقل الجاذبية: إن المعادلة الأخيرة هي معادلة سلمية تعطي حجم تسارع الجاذبية كمعادلة من المسافة من مركز الكتلة التي تسببت بالتسارع، ولكن يمكن الحصول على صيغة الشعاع لقوة الجاذبية في المعادلة الأخيرة، وكتابة التسارع كشعاع  يعطى بالعلاقة:

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

يمثل الحقل الشعاعي بالمعادلة السابقة حقل الجاذبية الذي تسببه الكتلة M، ويمكن تصور هذا الحقل  كما في الشكل أدناه حيث تتجه الخطوط بشكل شعاعي نحو الداخل ويتم توزيعها بشكل متماثل حول الكتلة

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

وكما هو صحيح بالنسبة لأي حقل شعاعي، فإن اتجاه الشعاع g موازي لخطوط الحقل في أي نقطة، وقوة g في أي نقطة تتناسب بشكل عكسي مع تباعد هذه الخطوط، وبطريقة أخرى لتوضيح ذلك هي أن حجم المجال في أي منطقة يتناسب مع عدد الخطوط التي تمر عبر واحدة مساحة السطح،مما يجعل كثافة الخطوط فعالة، وبما أن جميع الخطوط متوزعة بشكل متساوي في جميع الاتجاهات، فإن عدد الخطوط في واحدة مساحة السطح على مسافة r من الكتلة هو عدد الخطوط الكلي مقسوم على مربع مساحة السطح، وبالتالي تمثل بشكل مثالي قانون التربيع العكسي، بالإضافة إلى تحديد اتجاه الحقل.

الوزن الظاهري، حساب دوران الأرض: كما مبين في تطبيقات قوانين نيوتن، فإن الأجسام التي تتحرك بسرعة ثابتة في دائرة تملك تسارع جاذبية موجه لمركز الدائرة، والذي يعني بأنه يوجد شبكة قوة موجهة باتجاه مركز تلك الدائرة، وبما أن جميع الأجسام على سطح الأرض تتحرك دائريا كل 24 ساعة، فيجب أن يكون هناك قوة جاذبية على كل جسم موجهة باتجاه مركز هذه الدائرة، والشكل التالي يوضح ذلك

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

لنأخذ بعين الاعتبار أولاً جسماً بكتلة m يتوضع على خط الاستواء ومعلق بمقياس كما في الشكل أعلاه، يبتعد المقياس عن مركز الأرض بقوة تصاعدية Fs، وهذه هي القراءة على المقياس، وبالتالي هي الوزن الظاهري لجسم، ويشير الوزن mg باتجاه مركز الأرض.

يكون التسارع صفراً في حال كانت لا تدور الأرض، وبناءاً عليه، شبكة القوة ستكون صفراً، مما يؤدي إلى أن Fs=mg، ويجب أن يمثل مجموع هذه القوى تسارع الجاذبية، وباستخدام قانون نيوتن الثاني يكون لدينا:

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

مع ملاحظة أن ac يشير بنفس الاتجاه كالوزن، وبالتالي يكون سالب. السرعة v هي السرعة عند خط الاستواء و r هي Re. ويمكننا ببساطة حساب السرعة من خلال ملاحظة أن الأجسام على خط الاستواء تتحرك بشكل دائري في غضون 24 ساعة، بدلاً من ذلك، لنأخذ تعبيراً بديلاً ل ac من الحركة في بعدين وثلاثة أبعاد، كما معروف فإن السرعة الخطية v مرتبطة بالسرعة الزاوية w من خلال v=rw، وبالتالي لدينا ac=-rw^2 وبإعادة ترتيب المعادلة الأخيرة وبوضع r=RE، يكون الوزن الظاهري عند خط الاستواء كالتالي

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

والسرعة الزاوية للأرض في كل مكان هي:

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

وبتعويض قيم RE و w يكون:

سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما

وهذا ققط 0.34% من قيمة الجاذبية، لذلك من الواضح أنه تصحيح بسيط.

أكمل القراءة

هل لديك إجابة على "بماذا تتأثر عملية سقوط كل جسم على سطح كوكبٍ ما من الناحية الرياضية؟"؟