كيف احسب عدد الاحتمالات

لكل نوعٍ من الاحتمالات طريقةٌ مختلفةٌ في حسابها، فكيف يمكن حساب عدد الاحتمالات لكل نوع؟ وما هي الخطوات المتبعة؟ والقواعد الأساسية لحسابها؟

3 إجابات

تمكّننا دراسة الاحتمالات من معرفة النتائج الممكنة لوقوع حدث ما، أو عدة أحداث ممكنة. نظريًا، يمكنك حصر الاحتمالات المؤكّد نتيجتها برقمين، هما الصفر والذي يعبّر عن استحالة وقوع الحدث، والواحد الذي يعبّر عن حدوثه بشكل مؤكّد، مثلًا احتمال أن أراك أنا الآن هو صفر بينما احتمال رؤيتك لأحد أفراد عائلتك هو واحد. وأما لحساب عدد الاحتمالات بشكل عملي ودقيق فيجب أن تفهم بعض المصطلحات:

  • فضاء العينة: هو جميع النتائج المحتملة والمُقترحة في التجربة.

  • الحدث: مجموعة جزئية من فضاء العينة.

  • الاحتمال الذي نريد: نسبة عدد الخيارات الممكنة للحدث إلى عدد عناصر فضاء العينة.

عندما نريد حساب عدد الاحتمالات ، فيجب أن نحسب احتمال وقوع حدث معين بالنظر إلى عدد معين من المحاولات وسنعطي مثالًا وهو احتمالية حصول حدث عشوائي واحد، مثلًا:

في تجربة إلقاء حجر النرد، ونعرف بأن حجر النرد يحتوي 6 أوجه وهي 1,2,3,4,5,6، هذه الأرقام عبارة عن فضاء العينة، لحساب احتمال حدوث حَدَث:

  • اختر الحدث الذي تريد بعد إلقاء حجر النرد وليكن 3.

  • حدّد النتائج المحتملة، وهي 6 فقد تأتي النتيجة بأي وجه من الأوجه، لا يمكن تقدير النتيجة الأكيدة، إذن لدينا 6 نتائج محتملة.

  • التقسيم أو النسبة: هنا يجب أن نقسّم عدد الأحداث الممكنة على عدد النتائج المحتملة، ونسبة أن يظهرالحدث الذي نريده هو 3 موجود مرة واحدة فقط أما النتائج المحتملة فهي 6، وبالتالي الاحتمال هو 1/6.

أكمل القراءة

يعتمد حساب عدد الاحتمالات على فهم مفردات الاحتمالات، لذلك سوف أذكر لك هذه المفردات لكي تتمكن من فهم الاحتمالات ومن ثم حساب عددها:

  1. الحدث: هو الإجراء الذي تُدرس احتمالية حدوثه، كأن أقول لك أن احتمالية ظهور الرقم 9 في النرد يساوي صفر، فيكون الحدث مستحيلًا.
  2. فضاء العينة: هو العدد الكلي للعناصر المتاحة في المثال المدروس، فعلى سبيل المثال: فضاء العينة في مثال النرد هو 6، لأن مجموع العناصر الموجودة 6 أوجه أو 6 أرقام مختلفة.
  3. الاحتمال: هو رقم محصور بين 0 و1 ويعبر عن نسبة مئوية أو رقم عشري أو كسر، وهو نسبة بين عدد وجود العنصر المراد حساب احتمالية حدوثه إلى عدد عناصر فضاء العينة.

والآن، لنتجه إلى حساب عدد الاحتمالات. وإني لأرى أن الأمثلة خير طريقة للفهم، ولعل الأمثلة البسيطة أفضل في الفهم المبدئي:

المثال الأول: معك 7 كرات ذات ألوان مختلفة تمثل ألوان الطيف، فإذا قلنا ما احتمالية ظهور اللون القرمزي (البنفسجي) إذا اخترنا كرة بشكل عشوائي، يكون عدد الاحتمالات هنا هو نسبة وجود اللون البنفسجي إلى العدد الكلي للألوان، فتصبح النسبة 1/7. أما إذا قلت لك ما احتمالية ظهور اللون الأسود، فسيكون الحدث مستحيلًا، وذلك لأن ألوان الطيف لا تحتوي على اللون الأسود، فبالتالي لا توجد كرة سوداء في الأساس، فيكون الاحتمال 0.

المثال الثاني: معك عملة معدنية، لها وجهان، وجه به كتابة ووجه آخر به صورة، فعند دراسة احتمال ظهور الصورة أو الكتابة في حال ألقيت العملة بشكل عشوائي يكون 1/2 لكلا الوجهين.

أكمل القراءة

الاحتمالات وهي إحدى التطبيقات الرياضية التي تمكّننا من حساب احتمال وقوع حدث واحد معين أو عدة أحداث. أما عملياً فيمكننا تعريفه بأنه احتمال وقوع حدث مقسوماً على عدد النتائج المتوقعة للحدث. مثال: يحتوي صندوق على 4 كرات حمراء و3 زرقاء و3 صفراء، فإذا تم سحب كرة بطريقة عشوائية من الصندوق، ما احتمال أن تكون الكرة زرقاء؟

الجواب: الاحتمال الرياضي=p، الحدث الرياضي= 10، a=(عدد المتغيرات الكلّي في المجموعة) n ، 3=(عدد المتغيرات المتعلقة في حساب احتمال الحدث المحدد) r

فيكون لدينا: p(a)=n/r=10/3=0,3

ومن الضروري جداً أثناء حساب الاحتمالات معرفة إن الاحتمال دائماً عدد موجب وأكبر احتمال =1 وهو ما يسمّى احتمال الحدث المؤكّد؛ أي 1>p(a)>0

وللاحتمال ثلاثة أنواع، هي:

  • الاحتمال المنتظم: ويحدث عند تساوي احتمالات العناصر في الظاهرة، مثلًا في تجربة إلقاء حجر نرد، فإن احتمال الحصول على أي عدد من الأعداد الستّة المكوّنة لحجر النرد هو 1/6 وقمنا بحسابه من خلال “احتمال وقوع الحدث مقسومًا على عدد النتائج المتوقعة للحدث”.
  • الاحتمال الضمني أو الشخصي: هو الاحتمال الذي يتكوّن عند الشخص جرّاء تجربة شخصية أجراها، ويعتمد حساب هذا النوع من الاحتمالات على الطرق التجريبية ودراسة الاحتمالات –التي ممكن أن تتغير من شخص لآخر-.
  • الاحتمال التكراري النسبي: يرتكز هذا النوع من الاحتمالات على عدّة قواعد وبديهيات تتعلق بحساب نسبة وقوع الحدث على المدى الطويل، فتبدأ بحساب هذا الحدث في ثبات الظروف المحيطة للحدث، ومن ثم تكرر عملية حساب الحدث في محاولات متكرّرة.

ولحساب أنواع الاحتمالات الثلاثة بطريقة دقيقة، يجب التعرّف على العمليات الحسابية، وطريقة تنفيذها بالنسبة للأحداث، وهنا سترى عدّة أنواع للأحداث مثل:

الحدث المستحيل ∅ وهو الذي لا يتضمن أي عنصر من التجربة واحتماله يساوي الصفر،كما في تجربة إلقاء النرد واحتمال أن يظهر العدد 7.

P(∅)=0

الحدثان المتنافيان وهما الحدثين الذي يؤدي تقاطعهما إلى الحدث المستحيل ∅ أي لا يوجد بينهما أي عنصر مشترك: A∩B=∅ وهنا يكون حساب احتماليهما حتمًا يؤول إلى الصفر>

P(A) ∩ P(B)=0؛ وبطبيعة الحال يتم حساب تقاطُع الأحداث ∩ عن طريق معرفة عدد العناصر المشتركة بين الحدثين وتقسيمها على العدد الكلي في التجربة-

الحدثان المتكاملان وهما الحدثان الذي يضم اجتماعهما عناصر التجربة بأكملها وفي الوقت ذاته لا يحتويان أي عنصر مشترك “حدثان متنافيان”، مثل S=1,2,3,4,5,6 وA=1,3,5 وB=2,4,6 ، وهنا يتم حساب الأحداث المتكاملة بهذا الشكل:

P(A∪B) =P(A)+P(B)  when     A∩B=∅

أما في حال لم يكن الحدث متنافيان “أي يوجد بينمها عناصر مشتركة” فيتم حساب اجتماع الحدثين بهذا الشكل:

P(A∪B) =P(A)+P(B)−P(A∩B).

الحدثان المستقلان، أي حدوث أي من الحدثين لا يؤثّر في حدوث الآخر، وتُحسَب الأحداث المستقلة عن طريق:

P(A∩B) =P(B)*P(A)

الاحتمال الشرطي: وهو حدوث الاحتمال A بشرط وقوع الحدث B، ويتم حساب هذا النوع من الاحتمالات على مرحلتين:

الأولى وهي حساب الحدث الشرطي (A/B)، ويكون بحساب اجتماع الحدثين وتقسيمهما على الحدث الذي وقع.

P(A/B)= P(A∩B)\ P(B)

الثانية: تطبيق قانون الاحتمال الشرطي:

P(A∩B)=P(A)⋅P(B/A)

أكمل القراءة

هل لديك إجابة على "كيف احسب عدد الاحتمالات"؟