كيف اعثر على معكوس مصفوفة 3×3

1 إجابة واحدة
طالب
علوم الحاسب الآلي, Peter the Great Saint Petersburg Polytechnic University (Russia)

تعتبرُ المصفوفات جزءًا هامًا جدًا من علم الجبر في الرياضيات وتستخدم لإجراء الكثير من التمثيلات الرياضية وحساب الآلاف من العمليات الحسابية. في بعض الأحيان يتطلب العمل مع المصفوفات إجراء بعض التعديلات على المصفوفة قبل البدء باستخدامها وذلك لأغراضٍ معينةٍ ومن هذه العمليات هناك “إيجاد معكوس مصفوفة”.

بشكلٍ عامٍ تستخدم العمليات العكسية في الجبر لتبسيط ما قد يكون صعبًا. على سبيل المثال، إذا كانت المشكلة تتطلب منك القسمة على كسرٍ، يمكنك بسهولة الضرب في مقلوبه. هذه عمليةٌ عكسيةٌ. بشكلٍ مماثلٍ ونظرًا لعدم وجود عامل قسمةٍ للمصفوفات، نحن بحاجة إلى الضرب في المصفوفة العكسية. يعدُّ حساب معكوس مصفوفةٍ 3*3 يدويًا مهمةً صعبةً، ولكنها تستحق التجريب كما يمكن أيضًا العثور على المعكوس باستخدام آلة حاسبة متقدمة. هناك عدة طرق لحساب معكوس مصفوفةٍ ومنها طريقة (إنشاء المصفوفة المجاورة لإيجاد المصفوفة العكسية) وتشتمل هذه الطريقة على عدة خطواتٍ وهي بالترتيب:

1. التحقق من محدد المصفوفة: بدايةً لابد من حساب محدد المصفوفة كخطوةٍ أوليةٍ وإذا كان المحدد يساوي 0، فهذا يعني أن الحسابات قد انتهت ولا يمكن المتابعة رياضيًا، وبهذه الحالة المصفوفة ليس لها معكوس. عمومًا يمكن تمثيل محدد المصفوفة M بشكلٍ رمزيّ باسم det (M).

معكوس مصفوفة 3×3

2. تبديل المصفوفة الأصلية: يعني التبديل تبديل المصفوفة حول القطر الرئيسي، عند تبديل عناصر المصفوفة، يجب الملاحظة أن القطر الرئيسي (من أعلى اليسار إلى أسفل اليمين) لم يتغير. وبالنتيجة نحصل على ما يسمى “منقول المصفوفة”.

معكوس مصفوفة 3×3

يمكن التفكير في هذه العملية بطريقةٍ أخرى وهي إعادة كتابة الصف الأول كالعمود الأول وبالتالي يصبح الصف الأوسط العمود الأوسط، والصف الثالث يصبح العمود الثالث.

3. إيجاد محدد كل مصفوفةٍ ثانويةٍ 2*2: يرتبط كل عنصرٍ من عناصر مصفوفة 3*3 المنقولة حديثًا بمصفوفة “ثانوية” 2*2 مقابلة. للعثور على المصفوفة الثانوية المناسبة لكل كتلة، نقوم أولاً بتمييز صف وعمود الكتلة التي نبدأ بها. يجب أن يتضمن هذا خمسة كتلٍ من المصفوفة. تشكل الكتل الأربعة المتبقية ما يمكن تسميته ب “المصفوفة الصغيرة”. أوجد محدد كل مصفوفة ثانوية عن طريق ضرب الأقطار وطرحها، كما هو موضح في الشكل.

معكوس مصفوفة 3×3

4. إنشاء مصفوفة العوامل المساعدة: ضع نتائج الخطوة السابقة في مصفوفةٍ جديدةٍ من العوامل المساعدة عن طريق وضع كل مصفوفةٍ ثانويةٍ محددةٍ مع الموضع المقابل في المصفوفة الأصلية. وبالتالي، فإن المحدد الذي قمت بحسابه من البند (1.1) من المصفوفة الأصلية يذهب إلى الموضع (1،1). تسمى النتيجة النهائية لهذه الخطوة المصفوفة المساعدة للأصل. ويشار إلى ذلك أحيانًا بالمصفوفة المجاورة. تعرف المصفوفة المساعدة على أنها Adj (M).

معكوس مصفوفة 3×3

5. اقسم كل حدٍ من المصفوفة المساعدة على المحدد: تذكر محدد M الذي قمت بحسابه في الخطوة الأولى (للتحقق من أن المعكوس ممكن). نقسم الآن كل حد من المصفوفة على تلك القيمة. ضع نتيجة كل حساب في المكان الأصلي والنتيجة هي عكس المصفوفة الأصلية. بدلاً من القسمة، تعتبر بعض المصادر هذه الخطوة على أنها ضرب كل حد لـ M في مقلوب محدد M.

معكوس مصفوفة 3×3

هناك طرق أخرى لحساب معكوس المصفوفة 3*3 وتختلف صعوبة كل منها والوقت اللازم لتنفيذها وبالتالي اختيار واحدةٍ من الطرق مرتبطٌ بالمرونة والقدرة على التنويع في الحل لدى الشخص.

أكمل القراءة

648 مشاهدة

0

هل لديك إجابة على "كيف اعثر على معكوس مصفوفة 3×3"؟