ما هي الاعداد المركبة

تستخدم الأعداد المركبة (الأعداد العقدية) في كثير من المجالات ولا سيما تلك المرتبطة بتوضيح وتمثيل الحركات الدورية، فما هي الأعداد المركبة؟

3 إجابات

الأعداد المركبة مؤلفة من أرقام حقيقية وأرقام وهمية، والأرقام الحقيقية هي التي تجرى عليها العمليات الحسابية، أما الأرقام الوهمية تبقى كما هي، بالنسبة للأرقام الحقيقية ممكن أن تكون عدد صحيح، أو رقم سالب أو موجب أو صفر، أو رقم معقول أو غير معقول، أو حتى كسر، أما بالنسبة للأرقام غير الحقيقية فهي نتيجة لتربيع رقم وهمي يعطي نتيجة سلبية، وتكون صيغة الأعداد المركبة a+ib، بحيث يكون a وb أعداد حقيقية، ويعبر عن i بالرقم الوهمي، تستخدم الأعداد المركبة في مجالات مختلفة منها التيار المتناوب والأمواج الضوئية، والأمواج المائية، وجيب وتجيب الزاوية.

من العمليات الحسابية على الأعداد المركبة:

  • جمع الأعداد المركبة: وتتم بجمع الأجزاء الحقيقية مع بعضها، وجمع الأجزاء الوهمية مع بعضها.

a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i)

  • طرح الأعداد العقدية: تتم بضرب العامل السالب مع العدد المركب التالي، ومن ثم طرح الأعداد الحقيقية من بعضها، والأعداد الوهمية من بعضها.

a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i)

  • ضرب الأعداد العقدية: وتتم من خلال فك الأقواس وضرب كل جزء من العدد العقدي الأول مع الجزأين من العدد العقدي الثاني.

  • قسمة الأعداد العقدية: ليس من الممكن التقسيم على عدد وهمي لذلك نحاول التخلص من المقام الوهمي، وذلك بضرب البسط والمقام بنفس قيمة المقام، مع الأخذ بعين الاعتبار أن iللتربيع =-1، ومن ثم نبسط البسط والمقام للوصول للنتيجة النهائية.

أكمل القراءة

تتألف الأعداد المركبة أو ما يسمى بالأعداد العقدية من جزئين هما: الجزء الحقيقي، والجزء التخيلي، حيث تملك هذه الأعداد الصيغة الرياضية a+ib، على اعتبار أن a هو القسم الحقيقي و ib هو القسم التخيلي، حيث أن i  هو رقم وهمي يُسمى Iota، ويساوي الجذر التربيعي للعدد -1.

 وتستخدم الأعداد العقدية في مجالات عديدة وخاصة تلك المتعلقة بتمثيل الحركات الدورية، كتمثل التيار المتناوب، والأمواج المائية، والأمواج الضوئية. ويعود الظهور الأول للأعداد المركبة لعصر الأهرامات خلال القرن الأول الميلادي، عندما كان العالم هيرو الاسكندري يحاول حساب حجم مخروط لهرم، مما اضطره لإيجاد جذر تربيعي لقيمة سالبة.

كما يمكن إجراء العمليات الحسابية الأربعة على الأعداد المركبة، فعند القيام بعملية جمع عددين عقديين يجب جمع القسم الحقيقي للعدد الأول مع القسم الحقيقي للعدد الثاني، والقسم التخيلي للعدد الأول مع القسم التخيلي للعدد الثاني كما يلي:

a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i)

أما عند القيام بعملية طرح عددين عقديين نضرب المطروح بالعدد (-1)، ثم نتابع العملية على اعتبارها عملية جمع أو نطبق القاعدة التالية:

a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i)

أما عند ضرب عددين عقديين نفك الأقواس، بضرب كل قسم من العدد المركب الأول بكل العدد المركب الثاني، ثم تُجمع الأجزاء المتشابهة، أي نجمع الأقسام التخيلية معًا، والأقسام الحقيقية معًا، آخذين بعين الاعتبار أن (i^2 = -1)، وذلك وفق ما يلي:

(a + bi) (c + di) = a(c + di) + bi(c + di)

أما عند قسمة عددين عقديين يجب ضرب الكسر بأكمله بمرافق المقام فمثلًا إذا كان المقام (a + bi) نضرب كلًا من البسط والمقام بالمقدار (a – bi)، وبهذه الطريقة يتحول المقام لعدد حقيقي، على اعتبار أنه لا يمكن القسمة على عدد تخيلي.

أكمل القراءة

من المعروف أن الأعداد السالبة الحقيقية لا جذر لها إلا، ولكن لنفرض جدلاً أن العدد السالب يأخذ القيمة X*-1 وأن جذر العدد 1- هو الرقمي التخيلي i: يصبح لدينا جذر أي رقم سالب يساوي جذره مضروباً بالرقم i، وهذه هي فكرة الأعداد العقدية: فهي تفترض أن كل عدد مكون من جزئين حقيقي وتخيلي ويمثل مجموعهما العدد الأساسي (تأخذ الصيغة X+iY). 

يمكن إجراء كافة العمليات الرياضية على الأعداد العقدية من جمعٍ وضربٍ وطرحٍ وقسمة وفقاً للاعتبارات الخاصة بهذه الأعداد. وتكمن أهمية الأعداد العقدية في القدرة على تمثيلها بيانياً ضمن مستوي على عكس الأرقام الحقيقية التي تمثل بقيمة محددة أحادية البعد.

الاعداد المركبة

الـ r يطلق عليه معامل العدد المركب، والزاوية بين x و y طلق عليها حجة العدد المركب. 

الاعداد المركبة

الاعداد المركبة

الاعداد المركبة

الاعداد المركبة

من هذه يصبح بالامكان تمثيل العدد المركب بالشكل. 

الاعداد المركبة

توظف الأعداد العقدية في دراسة الإشارات وتوابع الإشارات انطالاقاً من العلاقة الرياضية المسماة بتحويل يولر:

الاعداد المركبة 

الاعداد المركبة

استخدامات الأعداد العقدية عديدة ومتنوعة نذكر من بينها: 

  • في نظرية التحكم يتم عادة تحويل النظام من مجال الزمن إلى مجال التواتر باستخدام تحويل لابلاس. محاور وأصفار النظام من بعدها يتم دراستها في مستوٍ عقدي.
  • في تحليل الإشارة تستخدم الأعداد العقدية نظراً لعملية تمثيلها للإشارة المتغيرة تبعاً للدور. 
  • في الحقول التطبيقية تستخدم الأعداد العقدية لحساب بعض الكسور الحقيقية غير النظامية. 
  • تعد الأعداد العقدية أداة قوية في حساب التكاملات ضمن منحنيات مغلقة أو حتى التكاملات الحقيقية (حيث تعمم باستخدامها علاقة كوشي).
  • تستخدم الأعداد العقدية في مجموعة من المعادلات والميكانيكيات المهمة في فيزياء الكم. 
  • تستخدم الأعداد العقدية في علوم الحاسوب لدراسة منطق عمل الأنظمة الحاسوبية. كما توظف في العديد من التطبيقات عالية الفعالية (مثل نظم المعلومات الجغرافية). 
  • تستخدم بشكلٍ كبير في الهندسة الكهربائية لتمثيل كل من الكمون والطور في أنظمة التيار المتناوب. 
  • توظف الأعداد العقدية في دراسة الأنظمة الهيدروليكية لوصف التدفق المحتمل. تستخدم أيضاً في دراسة الأنظمة التي تماثل تلك الهيدروليكية (مثل كثافة المرور المارة عبر الطرقات). 

أكمل القراءة

هل لديك إجابة على "ما هي الاعداد المركبة"؟