قانون حجم المخروط (مع أمثلة مشروحة)

الموسوعة » قانون حجم المخروط (مع أمثلة مشروحة)

الرياضيات هي علمٌ يعتمد على المنطق ويتعامل مع الأشكال والكميات والترتيب، وهي تعتبر حجر الأساس في تكوين كل ما هو موجودٌ في حياتنا اليومية بما في ذلك الهندسة المعمارية والأجهزة المالية والفنون والرياضة وعالم المال وغيرها، حيث تزداد حاجة الشعوب للرياضيات كلما زادت التعقيدات الموجودة في حياتها. لكن لا تقلق؛ فلن تصادف أيّ تعقيدٍ في حساب حجم المخروط كما سترى.§.

في سياقٍ متّصلٍ، تُعتبر الهندسة واحدةً من أقسام الرياضيات العملية، إذ أنّها تتضمن أشكال ومساحات وأحجام العناصر مختلفة، ويمكن تقسيم الهندسة إلى هندسةٍ مستويةٍ وهندسةٍ فراغيةٍ، فالهندسة المستوية تعبر عن أشكال سطحية كالمضلعات والمنحنيات والخطوط وغيرها؛ حيث يمكن التعبير عنها عبر رسمها على سطحٍ مستويةٍ كورقةٍ، أمّا الهندسة الفراغية فهي تهتم بالعناصر ثلاثية الأبعاد كما هو الحال في المكعبات والكرويات والأسطوانات وغيرها.§.

تعريف المخروط وخواصه

المخروط هو عبارةٌ عن مجسمٍ فراغيٍّ له رأس (قمة) وهي عبارةٌ عن نقطةٍ ثابتةٍ وسطحٍ جانبيٍّ يتم رسمه عبر خطٍ مستقيمٍ متحرك يدعى بالمولد، يمر عبر رأس المخروط، وبذلك فإنّ هذا المسار يحدد خطًّا منحن مغلق عند قاعدته والمستويات الداخلية الموازية لها.§.

المخاريط عبارةٌ عن أشكالٍ ثلاثية الأبعاد يسهل العثور على أبعادها، ففي المخروط الدائري القائم، تلزمنا معرفة نصف القطر والارتفاع لحساب حجم هذا المخروط، في حين أنّ حساب حجم المخروط الدائري المائل يتطلب معرفة نصف القطر والارتفاع والمساحة.§.

هناك العديد من الأشياء التي نراها في حياتنا والتي لها شكل المخروط؛ كالقمع والمعجنات المخروطية التي يتم وضع الآيس كريم فيها، وكذلك كتل الحواجز الموجودة على الطرقات وقبعات عيد الميلاد، وعلاوةً عن كل ذلك، فإنّ المخروط، وعلاوةً على كونه اسم شكلٍ فراغيٍّ، فهو يشير إلى مستقبلٍ ضوئيٍّ يقع في شبكية العين حيث أنّه يساعد على الرؤية بشكلٍ أفضل. أمّا عن مصطلحِ أو كلمةِ مخروطٍ باللغة الإنكليزية ـ أي Cone ـ فهو مشتقٌ حقيقةً من اللغة اليونانية من كلمة Konos؛ والتي تعني الوتد أو القمة.§.

  • عند تدوير مثلث قائم حول إحدى ضلعيه القائمتين بزاوية 360 درجةً سوف نحصل على مخروطٍ دائريٍّ قائم.
  • عند تدوير مثلث متساوي الساقين حول محوره بزاوية 180 درجةً سوف يتشكل لدينا مخروطٌ دورانيٌّ قائم.
  • إذا تقاطع مستوٍ ما موازٍ لقاعدة المخروط مع هذا المخروط فإنّه سوف يشكل دائرةً.
  • في حال تقاطع المخروط مع مستوٍ غير موازٍ لقاعدته وغير متقاطعٍ معها سوف ينتج شكل قطع ناقص.
  • يقع مركز ثقل المخروط (متجانس الكثافة في حال كان مصمتًا) في ربع الارتفاع مأخوذًا من مركز القاعدة.§.

أنواع المخروط

المخروط الدائري القائم

هو عبارةٌ عن مخروطٍ يمثل الخط الواصل بين رأسه ومنتصف قاعدته الدائرية محورًا له، بمعنى أنّ الزاوية التي يشكلها هذا الخط مع قاعدة المخروط هي زاوية قائمة، ولهذا المخروط مجموعة خواصٍ هي:

  • إنّ الخط الواصل بين قمة المخروط والخط الخارجي لقاعدته الدائرية يمثل ارتفاعه المائل.
  • يمثل الخط العمودي النازل من رأس المخروط إلى قاعدته ارتفاع المخروط القائم، وهو ينطبق على محور هذا المخروط.
  • إنّ أي مقطعٍ موازٍ للقاعدة في المخروط الدائري القائم يشكل دائرةً يمر محور المخروط من مركزها.
  • إنّ المقطع الذي يمر من قمة المخروط ونقطتين من قاعدته يشكل مثلثًا متساوي الساقين.§.

المخروط المائل

المخروط المائل هو عبارةٌ عن مخروطٍ ذي رأسٍ وقاعدةٍ دائرية، إلا أنّ محوره لا يتعامد مع القاعدة، كما أنّ قمة هذا المخروط لا تقع فوق مركز قاعدته بشكلٍ مباشرٍ مما يجعل له شكلًا مائلًا أو منحرفًا.§.

قانون حجم المخروط

تستطيع الحصول على حجم المخروط عبر ضرب 1/3 مساحة قاعدته بطول ارتفاعه، ويمكن التعبير عن ذلك بالعلاقة:

V = 1/3×π×r2×h

حيث:

  • r هي نصف قطر القاعدة.
  • h هو ارتفاع المخروط.
  • v هو حجم المخروط.

قد أظهرت التجارب العملية أنّه في حال أحضرنا مخروطًا دائريًّا، وأسطوانةً دائريةً لهما نفس مساحة القاعدة والارتفاع، وقمنا بملء المخروط بالماء ثم إفراغه في الأسطوانة، سنجد أنّه يملأ 1/3 من حجم الأسطوانة، وبحكم أنّ قاعدة الأسطوانة هي دائرةٌ مساحتها πr2 وارتفاع هذه الأسطوانة هو h، سيكون حجم الأسطوانة يساوي مساحة القاعدة مضروبةً بالارتفاع أي π.r2h، وبالتالي يكون حجم المخروط هو ثلث حجم الأسطوانة.§.

أمثلة في حساب حجم المخروط

مثالٌ على ذلك، لإيجاد حجم مخروط نصف قطره 8 سم، وارتفاعه 18 سم، نستند إلى علاقة حجم المخروط وفق:

V = 1/3×π×r2×h

حسب المعطيات يكون:

  • r = 8 cm
  • h = 18 cm

بالتعويض في العلاقة يكون: §.

V = 1/3× π×64×18 = 1206.4 cm3