القيمة المطلقه وخصائصها مع بعض التطبيقات والتمارين عليها

لنفترض أنك تقوم بقيادة سيارتك على الطريق، ومن ثم رأيت لافتةً مكتوبًا عليها أن السرعة المسموحة كحدٍّ أقصى هي 50 ميلًا في الساعة، وقمت بمشاهدة عداد سرعتك ورأيت أنها كانت عندها 45 ميلًا في الساعة فقط، عندها نقول أنك تسير بسرعة 5 ميل في الساعة أقل من الحد الأقصى المسموح للسرعة، لاحظ هنا أنه بالرغم من سيرك 5 ميل في الساعة أقل من الحد؛ إلا أننا لا نقول إنك ستذهب 5- ميل في الساعة، بل فقط نذكر الفرق من 50 ميلًا في الساعة كقيمةٍ موجبةٍ. ما سبق هو مثالٌ واقعيٌّ على استخدام القيمة المطلقه في الحياة، وفي مقالنا هذا، سنتعرف على المفهوم العام للقيمة المطلقة رياضيًّا وخصائصها وأمثلة عنها.

القيمة المطلقه (Absolute Value)، هي مصطلحٌ رياضيٌّ له استخداماتٌ متعددةٌ، ومن الممكن تعريفها على أنها المسافة التي يبعدها العدد الحقيقي عن الصفر بغض النظر عن إشارته على مستقيم الأعداد، حيث أن العدد 6 يبعد عن الصفر بمقدار 6 درجاتٍ، وأيضًا العدد (6-) يبعد نفس المسافة، يمكن القول أنها تُعنى بقيمة العدد بغض النظر عن إشارته، وعادةً تستخدم للتكلم عن المسافات وذلك لعدم وجود مسافاتٍ سالبةٍ في الواقع والحياة.

يرمز للقيمة المطلقة بالرمز”||” حيث تكتب القيمة المطلقه للعدد a مثلًا بالشكل التالي: |a|، على سبيل المثال، يمكن التعبير عن القيمة المطلقة للعدد (3) بالشكل |3| = 3، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-3): |3-|= 3، وهي تعني عمليًّا التفكير بجميع الأعداد على أنها أعدادٌ موجبةٌ أو مساويةً للصفر فقط، وإزالة الإشارة السالبة الموجودة أمام العدد في حال وجودها.

ملاحظة صغيرة وهامة جدًا: إن كتابة القيمة المطلقه هي بالشكل “|a|” وليس أقواس، لأن ذلك يغير من العملية الرياضية بشكلٍ كاملٍ، إذ تعمل الأقواس كما في الشكل (3-)- = +3، أما في حال كان لدينا |3-|- فإنها تساوي |3-|- = (3)- = 3-، لذلك لا يمكنك استبدال الإشارة|| بقوس بأي شكلٍ من الأشكال، كما يمكن ترميز القيمة المطلقة بالرمز “()abs” أي يمكن كتابة عبارة “القيمة المطلقة لسالب 3” على أنها “(abs (-3”.

.

.

تعطى بالعلاقة |f(x)=|x، هذه الدالة تأخذ القيمة x وتجعلها موجبةً دومًا، فعلى سبيل المثال، إذا كانت قيمة x تساوي 4-، فإن f(-4) =|-4|=4. ببساطةٍ، نحن نأخذ مدخلًا ونعوضه في دالة القيمة المطلقه ويكون الناتج هو القيمة الموجبة للمدخل، وعند تمثيل هذه الدالة بيانيًّا فإنها تأخذ شكل حرف (v)، ويكون لها الخصائص التالية:

.

.