شرح اللوغاريتمات وطرق حسابها
من منا لم يسمع باللوغاريتمات خلال مراحل تعلم الرياضيات المختلفة، ويتعلم طريقة استخدامها والاستفادة منها في كثيرٍ من العمليات الحسابية. لكن قد يظن البعض أنها مجردُ معلوماتٍ نظرية ليست ذات فائدةٍ في المجالات العملية. لذلك سنحاول معًا استذكار ماهي اللوغاريتمات وطرق استخدامها وبعض من خصائصها.
ماذا تعني اللوغاريتمات
اختُرعت اللوغاريتمات (Logarithms) في القرن السابع عشر لتسهيل العمليات الحسابية، حيث قللت الوقت اللازم لعمليات جداء عددٍ من الأرقام، واستُخدمت بشكلٍ كبيرٍ لأكثر من 30 عامًا، حتى اختراع الآلات الحاسبة في أواخر القرن التاسع عشر.
تدل اللوغاريتمات على القوة التي يجب أن يزداد رقم محدد وفقها للوصول إلى رقمٍ آخر، ولعل المثال التالي يُساعد في توضيح الفكرة بشكلٍ أفضل:
يدعى ذلك لوغاريتم الأساس 10؛ لأن الرقم 10 هو المرفوع للقوة، فالأساس هو الرقم المرفوع إلى القوة، حيث توجد لوغاريتمات تستخدم وحدات أساس مختلفة كما في المثال التالي:
لكن بشكلٍ عام؛ إنّ أكثر اللوغاريتمات استخدامًا يكون للأساس 10، وتُكتب بالشكل النموذجي log(a) = r، إضافةً للوغاريتمات الطبيعية، أي عند رؤية الرمز log يعني أن الأساس 10، وعند رؤية الرمز In يعني أن الأساس هو العدد النبري (e).
ابتكار اللوغاريتمات
في عام 1614، توصّل عالم الرياضيات الإسكتلندي جون نابير إلى ما يُعرف باسم اللوغاريتمات بناءً على عمليات مقارنة بين المتواليات الحسابية والمتواليات الهندسية؛ حيث يُعتبر كلّ حدٍّ من حدود المتواليات الهندسية نسبةً مشتركةً مع الحد الذي يليه، فمثلًا في المتوالية:
……./1000,1/100,1/10,1,10,100,1000……...
تكون النسبة 10، بينما يختلف كلّ حدٍّ عن الذي يليه بمقدارٍ ثابتٍ في المتوالية الحسابية تُعرف بالفرق المشترك، فمثلًا في المتوالية …..-3,-2,-1,0,1,2,3…… يكون الفرق المشترك 1. بالمقارنة، وُجد أن المتوالية الحسابية يمكن كتابتها بالاعتماد على النسبة المشتركة فيكون:
طريقة حساب اللوغاريتمات
يمكن معرفة لوغاريتم الأساس 10 من خلال طريقةٍ محددةٍ، كما في الأمثلة:
أما لإيجاد لوغاريتم الأعداد الأخرى غير 10، فلا بدّ من استخدام الآلة الحاسبة أو جدول اللوغاريتمات فقط يجب إدخال العدد في الآلة الحاسبة، ثم الضغط على مفتاح Log أو In مثلًا:
أما لتحديد الرقم الصحيح من الأرقام المعنية لكل لوغاريتم، يجب معرفة أن الرقم على يسار الفاصلة العشرية يُدعى المميز (Characteristic)، والرقم على يمين الفاصلة العشرية يُدعى الجزء العشري من اللوغاريتم (Mantissa)، حيث يُحدد المميز مكان الفاصلة العشرية للرقم، ولهذا لا تستخدم عند تحديد أحد الأرقام المعنوية؛ أما الجزء العشري فيتضمن الرقم الذي أوجده اللوغاريتم؛ وبالعودة إلى المثال السابق نجد:
الرقم هنا لديه 3 أرقام معنوية، لكن اللوغاريتم ينتهي عند الرقم المعنوي الخامس؛ لأن الجزء العشري لديه 3 والمميز لديه 2.
لوغاريتم الأساس 10
يُرمز له LOG(10) أوLOG، وتُعبر عنه الصيغة:
هذا يعني أن:
يمكن القول إن لوغاريتم الأساس 10 هو اختصارٌ للأسس، ويُستخدم لتحويل عمليات الجداء إلى عمليات جمعٍ، ما يعني تشابه قواعد الأسس مع قواعد اللوغاريتمات مثلًا:
اللوغاريتمات الطبيعية
تُدعى أيضًا لوغاريتمات الأساس e وهو العددٌ النبريٌّ (....e=2.71828182845)، ويُرمز له بالصيغة Log(e) أو In(e)، ويُعبر عنه بالعلاقة:
مقابل اللوغاريتم
اعتمد علماء الرياضيات بشكلٍ كبيرٍ على اللوغاريتمات لما تتمتع به من خصائصَ جعلت من السهل تنفيذ العمليات الحسابية الطويلة والمملة، فمثلًا أصبح بالإمكان إيجاد ناتج رقمين m و n من خلال الوصول إلى لوغاريتم الرقمين وجمعهما معًا إلى جدولٍ خاص، يُمكن الرجوع إليه لإيجاد الرقم المتعلق باللوغاريتم المحسوب، والذي يُدعى مقابل اللوغاريتم Antilogarithm.
يُمكن تمثيل هذه العلاقة بالصيغة:
من خلالها يُمكن حساب مثلًا 100*1000 عن طريق البحث عن لوغاريتم 100 قوة 2 ولوغاريتم 1000 قوة 3، وجمع اللوغاريتمين معًا، ليُصبح 5، ثم إيجاد مقابل اللوغاريتم وهو 100000 من الجدول.
الكشف عن أسرار مصدر نهر النيل الذي كان لغزاً لآلاف السنين!
2 د
ظلّ مصدر نهر النيل لغزاً لآلاف السنين.
لنهر النيل مصدران رئيسيان: النيل الأزرق من إثيوبيا والنيل الأبيض من البحيرات الأفريقية الكبرى وما وراءها.
حاولت العديد من الحضارات البحث عن مصدر النيل، لكن نظام النهر المعقّد يجعل من الصعب تحديد أصل واحد.
يعتبر نهر النّيل من أطول الأنهار في العالم وأحد أهم الأنهار في مصر والمنطقة العربية. ومنذ القدم، كان مصدر المياه الذي ينبعث منه النّيل يثير اهتمام المصريّين القدماء، وحتى الآن لا يزال هذا السؤال غامضاً ولا يحمل إجابة واضحة. على الرّغم من التقدّم التكنولوجي والمعرفة الجيوفيزيائية، لا يزال أصل النّيل لغزاً حتّى يومنا هذا.
في حين أنّ الإجابة البسيطة هي أنّ للنيل مصدرين رئيسيّين -النّيل الأزرق من إثيوبيا والنّيل الأبيض من البحيرات الأفريقيّة الكُبرى وما وراءها- فإنّ منشأ النّيل أكثر تعقيداً ممّا يبدو.
حاول الرّومان القدماء العثور على منبع النّيل، وبمساعدة المرشدين الإثيوبيين، توجّهوا عبر إفريقيا على طول نهر النيل إلى المجهول. على الرغم من أنّهم وصلوا إلى كتلة كبيرة من المياه كانوا يعتقدون أنّها المصدر، إلا أنّهم فشلوا في النّهاية في حلّ اللغز.
قبل الرّومان، حرص المصريّون القدماء معرفة أصل النّيل لأسباب ليس أقلّها أنّ حضارتهم كانت تعتمد على مياهه لتغذية ترابهم وتكون بمثابة طريق مواصلات. فتتبّعوا النهر حتّى الخرطوم في السّودان، واعتقدوا أنّ النّيل الأزرق من بحيرة تانا، إثيوبيا، هو المصدر. وقد كانت رؤية النيل الأزرق على المسار الصحيح، ولكن لا يوجد دليل على أنّ المصريين القدماء اكتشفوا القطعة الرئيسية الأخرى في هذا اللغز؛ النيل الأبيض.
واليوم، تمّ الاتّفاق على أنّ للنيل مصدرين: النّيل الأزرق والنّيل الأبيض، يلتقيان في العاصمة السّودانية الخرطوم قبل أن يتّجه شمالاً إلى مصر. يظهر النّيل الأزرق من الشّرق في بحيرة تانا الإثيوبيّة، بينما يظهر النّيل الأبيض من حول بحيرة فيكتوريا يخرج من جينجا، أوغندا. ومع ذلك، حتى هذه المصادر هي أكثر تعقيداً ممّا تبدو عليه لأول مرة.
يوضّح المغامر الشهير السير كريستوفر أونداتجي أنّ بحيرة فيكتوريا نفسها عبارة عن خزّان تغذّيها أنهار أخرى، وأنّ النّيل الأبيض لا يتدفّق مباشرة من بحيرة ألبرت ولكن من نهر كاجيرا ونهر سيمليكي، اللّذان ينبعان من جبال روينزوري في الجمهورية الكونغو الديمقراطية. في نهاية المطاف، كما يجادل، يمكن تتبّع النّيل الأبيض مباشرة إلى نهر كاجيرا ونهر سيمليكي.
في الختام، ليس لنهر النّيل مصدر واحد، بل يتغذّى من خلال نظام معقّد من الأنهار والمسطّحات المائية الأخرى. في حين أنّ الفكرة اللّطيفة القائلة بإمكانيّة تحديد المصدر بدقّة على الخريطة هي فكرة جذابة، إلّا أنّ الحقيقة نادراً ما تكون بهذه البساطة.
حتى اليوم، لا يزال مصدر النيل لغزاً يثير إعجاب النّاس في جميع أنحاء العالم.
عبَّر عن رأيك
إحرص أن يكون تعليقك موضوعيّاً ومفيداً، حافظ على سُمعتكَ الرقميَّة واحترم الكاتب والأعضاء والقُرّاء.
