تعد المثلثات من أكثر الأشكال التي نواجهها خلال دراستنا الرياضيات، إذ من المعلوم أن جميع المثلثات تتكون من ثلاث زوايا وثلاثة أضلعٍ وثلاثة رؤوسٍ، واعتمادًا على قياس زواياها وأطوال أضلاعها يتم تصنيفها إلى أنواعٍ مختلفةٍ. عند المقارنة بين مثلثين مختلفين، ولمعرفة إن كانا متطابقين أم لا، يتم اتباع مجموعةٍ مختلفةٍ من القواعد والأسس اعتمادًا على الحجم والشكل. فما هي خصائص المثلثات وما هي القواعد التي تحدد تطابق المثلثات، هذا ما سنتعرف عليه في المقال التالي.1

بعض خصائص المثلث

لكل أنواع المثلثات بعض الخصائص التي تشترك بها جميعًا، وهي:

  • كلّ مثلثٍ له ثلاث رؤوسٍ وثلاثة أضلاعٍ وثلاث زوايا.
  • القاعدة: يمكن أن تكون قاعدة المثلث أحد الجوانب الثلاثة حيث يمكن اختيار أي جانبٍ ليكون القاعدة، وعادةً ما يتم رسمها في الأسفل، تستخدم القاعدة في حساب مساحة المثلث.
  • الارتفاع: ارتفاع المثلث هو عمودٌ على القاعدة من الرأس المقابل لها عاكس (قد يتم تمديد القاعدة لرسم الارتفاع في بعض أنواع المثلثات)، يكون لكلّ مثلثٍ ثلاثة ارتفاعاتٍ، وذلك بسبب وجود ثلاثة أضلعٍ يمكن اعتبارها قاعدة، تتقاطع الارتفاعات الثلاثة عند نقطةٍ واحدةٍ تسمى ملتقى الارتفاعات.
  • المتوسط: متوسط المثلث هو عبارة عن خطٍّ من أحد الرؤوس إلى منتصف الضلع المقابل له، تتقاطع المتوسطات الثلاثة عند نقطةٍ واحدةٍ تسمى مركز ثقل المثلث.
  • تختلف طريقة حساب مساحة المثلث بحسب نوع المثلث؛ إذ تحسب في المثلث القائم كناتج ضرب طولي الضلعين القائمين مقسومًا على 2، أما في المثلثات الأخرى تحسب بناتج ضرب طول القاعدة بطول الارتفاع مقسومًا على 2.
  • محيط المثلث يساوي مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة.2

تصنيف المثلثات

يلعب نوع المثلّث دورًا هامًّا في الحكم المباشر على تطابق المثلثات من عدمه، ويتم تصنيف المثلثات إلى أنواعٍ حسب الزوايا والأضلاع، هي:

  • مثلث متساوي الأضلاع: يحتوي المثلث متساوي الأضلاع على ثلاثة أضلاعٍ متساوية في الطول وثلاث زوايا متساوية القياس، قياس كل زاويةٍ منها 60 درجةً.
  • مثلث متساوي الساقين: يحتوي المثلث المتساوي الساقين على ضلعين متساويين في الطول وزاويتين متساويتين في القياس.
  • المثلث قائم الزاوية: يحتوي المثلث القائم الزاوية على زاويةٍ بقياس 90 درجةً.
  • مثلث مختلف الأضلاع: يحتوي المثلث المختلف الأضلاع على ثلاثة أضلاعٍ مختلفة في الطول، وتكون زواياه مختلفةً في القياس، وله النوعان التاليان:
    • المثلث حاد الزاوية: يحتوي المثلث الحاد على ثلاث زوايا حادة (قياس الزاوية الحادة أقل من 90 درجةً).
    • المثلث منفرج الزاوية: يحتوي المثلث المنفرج الزاوية على زاويةٍ واحدةٍ منفرجة (قياس الزاوية المنفرجة أكبر من 90 درجة)، لا يمكن أن يحتوي على زاويتين منفرجتين كون مجموع قياس زوايا المثلث 180 درجة.3

حالات تطابق المثلثات

يتطابق مثلثان عندما يتشابهان بالشكل والحجم معًا، بحيث يكونان نسخةً عن بعضهما البعض، ولكي نقول عن مثلثين أنهما متطابقان يجب أن تتحقق أحد الحالات التالية:

  1. تساوي أطوال الأضلاع الثلاثة:

    عندما تكون أطوال أضلع المثلث الثلاثة متساويةً مع أطوال أضلع المثلث المقابل يكون المثلثان متطابقين.

  2. تساوي طولي ضلعين وقياس الزاوية بينهما:

    الحالة الثانية من تطابق المثلثات عندما يتساوى طول ضلعين من مثلثٍ مع طول الضلعين المقابلين لهما من المثلث الآخر، وتكون الزاوية الواقعة بين الضلعين من كلا المثلثين متساويةً.

  3. تساوي قياس زاويتين وطول الضلع المشتركة بينهما:

    عندما تتساوى زاويتان والضلع المشتركة بينهما من المثلث الأول مع الزاويتين والضلع المقابلين لها من المثلث الآخر يكون المثلثان متشابهين.

  4. تساوي قياس زاويتين وطول الضلع المقابلة لإحداها:

    عندما تتساوى زاويتان والضلع المقابلة لأحد هذه الزوايا من المثلث الأول مع الزاويتين والضلع المقابلة لها من المثلث الآخر يكون المثلثان متشابهين.

  5. تساوي طول وتر المثلث وأحد الأضلاع:

    يكون المثلثان متشابهين إذا تساوى طول وتر المثلث الأول وأحد أضلاعه مع طول وتر المثلث الآخر وأحد أضلاعه.

حالات لا توجب تطابق المثلثات

توجد بعض الحالات التي لا يكفي برهانها على إثبات تطابق مثلّثَين أو أكثر، منها:

  1. تساوي قياسات الزوايا: إذا تساوت قياسات زوايا المثلث الأول مع زوايا المثلث الثاني، فهذا لا يعني أن المثلثين متطابقان بالضرورة؛ إذ سيكون لهما نفس الشكل، لكن ليس الحجم ذاته، وتصنّف هذه الحالة من حالات تشابه المثلثات.
  2. تساوي ضلعَين وزاوية غير مشتركة بينهما: إذا تساوى طولا ضلعين من المثلث الأول مع طولَي ضلعين من المثلث الآخر، وتساوت زاويةٌ غير مشتركةٍ بين الضلعين في أحدهما مع نظيرتها من الآخر، فلا يمكننا القول إن المثلثين متطابقان.4

المراجع

  • 1 Congruent Triangles، من موقع: www.toppr.com، اطّلع عليه بتاريخ February/09/2020 | 05:54 PM
  • 2 Triangle، من موقع: www.mathopenref.com، اطّلع عليه بتاريخ February/09/2020 | 05:54 PM
  • 3 Types of Triangles، من موقع: www.mathwarehouse.com، اطّلع عليه بتاريخ February/09/2020 | 05:54 PM
  • 4 Congruent Triangles، من موقع: www.mathopenref.com، اطّلع عليه بتاريخ February/09/2020 | 05:54 PM