المعادلات الرياضية الأسية

العديد من الطلاب وعند دراستهم لمادة الرياضيات وسماعهم لعبارة معادلاتٍ أُسيّةٍ يعتقد أنها شيءٌ مخيفٌ وحلّه صعب ومُعقّد ويحتاج دائمًا لآلةٍ حاسبةٍ علميّةٍ، ولكن لا ندري أنّنا عند إتقان بعض المهارات البسيطة في علم الجبر يُصبح حلّها أمرًا سهلًا وممتعًا، وحتى نستطيع فهم طرق حل المعادلات الأسية يجب أن نتعلّم أولًا أن نميّز بين نوعيها الرئيسيّن:

  1. المعادلات الأُسيّة التي لها نفس الأساس.
  2. المعادلات الأسيّة التي ليس لها نفس الأساس.

إنّ حل النوع الأول أبسط وأسرع من النوع الثاني، وليس بحاجةٍ إلى آلةٍ حاسبةٍ علميّةٍ أو استخدام التابع اللوغاريتمي، وإنّ شكل العبارة أو العدد الأسي Ax؛ حيث إن A هي الأساس وx هو الأُسّ.

حل المعادلات الأسية التي لها نفس الأساس

طالما أن الأساس على طرفيّ المعادلة متساوٍ فبالإمكان تجاهله، ونكتب المعادلة للأُسس فقط، ونقوم بحل المعادلة الناتجة كما نقوم بحل أيّ معادلةٍ بسيطةٍ، وذلك بعزل المتغّير بجهة واحدة، وبعد إيجاد قيمته نقوم بالتأكد بأن الحل الناتج صحيح وذلك بتعويض قيمة المتغيّر الناتج في المعادلة الأساسيّة (الأصلية)، ونقوم بعمليات الختزال والتبسيط الممكنة، وإذا كان الناتج صحيحًا يجب أن يكون في النهاية طرفا المعادلة متساويان.

سنسرد الآن بعض الأمثلة المختلفة من المعادلات التي لها نفس الأساس وكيفيّة حلها، والتي ستساعدنا في فهم وتركيز الشرح السابق لطرق الحل.

  • المثال الأول: حل المعادلات الأسية عندما يكون طرفا المعادلة لهما نفس الأساس تمامًا.
حل المعادلات الأسية التي لها نفس الأساس

طالما أنّ الأساس متطابق؛ سيعني هذا أنّ الأُسس يجب أن تكون متساوية، لذا نتجاهل الأساس، ونجعل طرفيّ المعادلة الممثّلة للحلّ بالشكل التالي:

حل المعادلات الأسية التي لها نفس الأساس

الن؛ نحل المعادلة من أجل المتغيّر x، وذلك بعزله بطرفٍ واحدٍ:

أخيرًا، وللتأكد من أن خطوات الحل صحيحة نقوم بتعويض قيمة جذر المعادلة (حلّها، وهو قيمة المتغيّر x المطلوبة) x= -1 في المعادلة الأُسيّة الأساسيّة فنجد:

وطالما نتج أنّ طرفا المعادلة متساويان فالحل صحيح.

  • المثال الثاني: حل المعادلات الأسية عندما يكون أحد طرفيّ المعادلة عددًا صحيحًا يمكن كتابته على شكل عدد أسيّ له نفس الأساس.

نقوم بعزل العدد الأسيّ في طرف، والعدد الصحيح في الطرف الآخر، وذلك بإجراء التغييرات المناسبة لكلا الطرفين، وفي مثالنا هذا نقوم بإضافة العدد 2 إلى كلا الطرفين.

الآن، يجب التأكد أن العدد الصحيح الذي في الطرف الثاني يمكن كتابته أو صياغته على شكل عددٍ أسيٍّ له نفس الأساس في الطرف الأول، وإلّا لا يمكننا استخدام هذه الطريقة، وفي مثالنا نلاحظ أن العدد 64 يمكن أن يُكتب بالشكل 43 لإنّ 4*4*4 = 64، وبالتالي بات لدينا صيغة تشابه المثال الأول، أي نفس الأساس تمامًا، فنقوم بالحل كما في المثال السابق حيث نكتب معادلة للأُسس فقط ونحلها وفق:

أخيرًا، نتأكد من عدم وجود أخطاء في النتيجة بتعويض قيمة y التي تحلّ المعادلة في المعادلة الأساسيّة، فنجد:

كما هواضح؛ فإنّ طرفا المعادلة متساويان، وبالتالي الحل صحيح.1

  • المثال الثالث: حل المعادلات الأسية عندما يكون كلا طرفي المعادلة يمكن كتابتهما على شكل عددٍ أسيٍّ له نفس الأساس.

هنا نُلاحظ أن كلا طرفي المعادلة يمكن أن يُكتب كقوّةٍ للعدد 3، فنعيد كتابة المعادلة بالشكل التالي:

من ثمّ نقوم بضرب الأُسس للحصول على صيغةٍ نهائيةٍ لها فينتج لدينا:

بهذا الشكل أصبح صيغة توافق المثال الأول؛ أي نفس الأساس تمامًا فنحل بنفس الطريقة، ونكتب معادلة الأُسس:

4x+8 = 12x-8

4x-12x = -8-8

8x = -16-

x = -16/ -8

x = 2

أيضًا نقوم بالتأكد من الحل بتعويض قيمة x في المعادلة وفق:

كما هو واضح؛ فإنّ طرفا المعادلة متساويان، إذًا فالحل صحيح.

للأسف، لا يمكن التعبير عن جميع المعادلات الأسيّة بالشكل السابق، أي تحويلها لصيغ لها نفس الأساس، لذلك سنتعرّف الآن على النوع الثاني من المعادلات الأسيّة وطرق حلها.2

حل المعادلات الأسية التي ليس لها نفس الأساس

في هذا النوع من المعادلات نستخدم مكوّن اللوغاريتمات الرياضية، إمّا اللوغاريتم العشري log، أو اللوغاريتم الطبيعي ln، ولكن عندما يحوي أحد طرفي المعادلة على العدد النبري e يجب استخدام ln (اللوغاريتم النبري). وبنفس الطرق السابقة؛ يجب عزل المتغير في جهة واحدة، ثم نقوم بأخذ اللوغاريتم للطرفين، ونحل المعادلة بالنسبة للمتغير بواسطة الآلة الحاسبة العلميّة للحصول على الناتج الرقمي الدقيق. فيما يلي بعض الأمثلة التي ستشرح بالتفصيل طريقة الحل.

  • المثال الأول: حل المعادلات الأسية عندما يكون أحد طرفي المعادلة عددًا صحيحًا ولا يمكن كتابته على شكل عددٍ أُسيٍّ له نفس الأساس.
حل المعادلات الأسية التي ليس لها نفس الأساس

بداية، نعزل المتغير في طرفٍ واحدٍ، وذلك بإجراء التغييرات المناسبة لكلا الطرفين:

حل المعادلات الأسية التي ليس لها نفس الأساس

الآن، نأخذ اللوغاريتم العشري للطرفين:3

حل المعادلات الأسية التي ليس لها نفس الأساس

بعد ذلك، نطبّق القاعدة الخاصة باللوغاريتم؛ وهي أن log ax = x log a وفق:

حل المعادلات الأسية التي ليس لها نفس الأساس

يجب الآن أن نقسّم على log 2 لنعزل المتغير في طرفٍ واحدٍ، فنكتب:

حل المعادلات الأسية التي ليس لها نفس الأساس

في النهاية، نقوم بحساب قيمة X باستخدام الآلة الحاسبة العلمية، فنحصل على ناتج تقريبي لقيمة x، ذلك أنّ log 15 وlog 2 هي قيمٌ رقميةٌ ثابت صعبة الحفظ، يمكن تحصيله من الآلة الحاسبة بصورة دقيقة:

X = (1.176/0.301) -4 ≅ -0.093

  • المثال الثاني: حل المعادلات الأسية عندما يحتوي أحد طرفي المعادلة على العدد النبري e.
حل المعادلات الأسية عندما يحتوي أحد طرفي المعادلة على العدد النبري e.

نظرًا لإن اللوغاريتم الطبيعي ln هو دالّة اللوغاريتم للأساس e، فإن استخدامه في هذه الحالة سيسهل الحل بشكلٍ أفضل وأسرع، لذا نعزل المتغير في طرفٍ واحدٍ:

ex = 64/16

ثمّ نأخذ لوغاريتم الطرفين فنحصل على القيمة التقريبية للمتغير x وفق:

ln ex = ln (64/16)

x= ln4≅1.3864

المراجع