تلعب الرياضيات دورًا هامًا في حياتنا اليومية فكل شيءٍ من حولنا يقوم على معادلاتٍ رياضيةٍ، وسنعرض في هذا المقال الدور الهام الذي تقدمه المعادلات التربيعية في تبسيط الكثير من الأمور المعقدة والطرق الأساسية في حلها.

تاريخ المعادلات التربيعية

طور البابليون نهجًا حسابيًّا بسيطًا لحل المشكلات الرياضية التي تواجههم عن طريق حل المعادلات التربيعية دون درايةٍ منهم بهذه المعادلات. وفي حوالي 300 قبل الميلاد تمكن اقليدس من تطوير منهجٍ هندسيٍّ مكن العلماء من بعده من إيجاد حلولٍ للمعادلات التربيعية، وكان العالم الهندي براهماغوبتا أول من أعاد هيكلة الطرق البابلية ليقدم صيغةً حديثةً لحل المعادلة ليأتي بعد ذلك محمد بن موسى الخوارزمي الذي تمكن من تطوير طريقته وتقديم صيغ لأنواعٍ مختلفةٍ من المعادلات التربيعية مع حل كل معادلةٍ من هذه المعادلات لتبدأ بعد ذلك مرحلةٌ جديدةٌ في عالم الرياضيات.

ماهي المعادلات التربيعية

هي معادلةٌ جبريةٌ ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية والشكل القياسي للمعادلة التربيعية يتمثل بالشكل الآتي: 0=ax2 + bx + c، بحيث a b c هي أعداد حقيقية ثابتة وبشرط a متغير لايساوي الصفر وإلا تحولت المعادلة إلى خطيةٍ.1

حل المعادلات التربيعية

هناك العديد من الطرق لحل المعادلات التربيعية وفيما يلي سنستعرض أبرز الطرق لحلها ومنها:

حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى عوامل:

هي خوارزميةٌ بسيطةٌ يتلخص حلها بالخطوات التالية:

  • يتم استخدام هذه الطريقة بترتيب المعادلة ونقل كل الحدود الجبرية إلى طرف وترك الصفر في الطرف الآخر.
  • يتم تحليل المعادلة إلى حاصل ضرب مقدارين خطيين.
  • مساواة كل مقدارٍ خطيٍّ إلى الصفر وحله.
  • التحقق من الحل بإدخال قيمته الحقيقية في المعادلة الرياضية وتساوي الطرفين.

وكمثالٍ على ذلك لدينا المعادلة الرياضية 16=x2 -6 x ويكون الحل كما يلي:

  • 0=16-x2 -6 x
  • x-8) (x+2 )=0)
  • إما x-8 =0 فيكون x=8
  • أو x+2=0 فيكون x=-2
  • ثم التحقق من القيم بإدخالها بالمعادلة وعليه فإن كل من القيمتين صحيحتين وهي حلولٌ للمعادلة الأصلية.

حل المعادلة التربيعية بطريقة اكمال المربع

في بعض المعادلات التربيعية يكون من الصعب علينا إيجاد عواملَ لذلك يمكننا اللجوء لطريقة إكمال المربع ويكمن جوهر هذه الخوارزمية باتباع الخطوات التالية:

  • يتم تبسيط المعادلة وترتيبها بحيث نحوّل c الحد الثابت للطرف الثاني ويكون المعامل a مساويًّا الواحد أي تكون المعادلة بالشكل:ax2 + bx  =c
  • عندما لايكون a مساويًّا الواحد نقسم على جميع المعاملات على المعامل a ليصبح 1
  • نأخذ b ونضيف للطرفين (b/2) مرفوع للقوة 2
  • نكتب الطرف الأول على شكل مربع كامل ونبسط الطرف الآخر
  • نقوم بحل المعادلتين الخطيتين الناتجتين وإيجاد الجذور التي تكون حلول للمعادلة التربيعية

وكمثالٍ على ذلك لدينا المعادلة التالية 0=7-x2 -6 x ويكون الحل كالتالي:

  1. 7=x2 -6 x
  2. 7+9=9+x2 -6 x
  3. 16=2*(x-3)
  4. نجذر الطرفين لنحصل على معادلتين نقوم بحلهما ويكون الناتج x=-1 وx=7 2

حل المعادلة التربيعية بيانيًا

يعود مصطلح المعادلات التربيعية إلى كلمة التربيع المتمثلة بمعادلات الدرجة الثانية أو شكل المربع الهندسي. وتتضمن المعادلة التربيعية القياسية ثلاثة حدود تساوي الصفر ويتم الرسم البياني بالاعتماد على المتغيرات xوy واستبدال أي قيمةٍ للمتغير x في حل y ورسم الإحداثيات المقابلة ويجب أن تقوم بمساواة y للصفر وحل العبارة الجبرية وتمثيل القيم الجبرية الناتجة عن حل المعادلات التربيعية عن طريق الرسم البياني فيكون الشكل العام للقطع المكافئ هو شكل حرف u الذي يكون إما في الأعلى أو الأسفل. وعند وجود معادلتين يتم حلهما ثم تمثيلهما بيانيًّا بتحديد النقاط على الرسم البياني ووصل النقاط الناتجة وتكون نقاط التقاطع بين الخطين هي الحل المشترك للمعادلتين. ومن الجدير بالذكر أنه يمكن أن ينتج عن المعادلة حلٌ واحدٌ حقيقيٌّ أو حلان كما قد لاينتج أي حلٍ لهذه المعادلة عندها لانجد في التمثيل البياني تقاطع بين الدالة الممثلة بيانيًا ومحور الإكسات.3

نصائح لحل المعادلات

عند حل معادلةٍ جبريةٍ سنواجه بعض الصعوبات في حلها لماتحتويه من أسسٍ وكسورٍ ومتغيراتٍ متعددةٍ، ولتجاوز هذه التحديات يمكنك اتباع بعض النصائح البسيطة ومنها:

  • لحل أي معادلةٍ جبريةٍ يجب وضع المعاليم في طرف والمجاهيل في الطرف الآخر.
  • ترتيب الخطوات وتسلسلها للوصول إلى الحل الصحيح.
  • تطبيق العمليات العكسية عند اقتضاء الحاجة.
  • التأكد من صحة حل المعادلة بحلها بأكثر من طريقةٍ.4

المراجع