ما هي مساحة المثلث متساوي الاضلاع (مع أمثلة مشروحة)

الموسوعة » رياضيات » ما هي مساحة المثلث متساوي الاضلاع (مع أمثلة مشروحة)

المثلث هو عبارةٌ عن مضلعٍ ذي ثلاثة أضلاعٍ، تجتمع مع بعضها لتشكل ثلاث زوايا، وقد تكون بعض هذه الأضلاع والزوايا متساوية في بعض الحالات، وعليه، تختلف تسميات المثلث حسب أضلاعه، كما هو الحال في المثلث القائم والذي تكون فيه جميع الأضلاع مختلفة الطول، وفيه زاوية قائمة، وفي حال تساوى ضلعان فيه فيسمى قائمًا متساوي الساقين. بشكلٍ عام، للمثلثات ثلاثة أنواعٍ رئيسية وهي المثلثات مختلفة الأضلاع والمثلثات متساوية الأضلاع، والمثلثات متساوية الساقين، ومقالنا اليوم عن كيفية حساب مساحة المثلث متساوي الاضلاع .§.

بالنظر إلى المثلثات بشكلٍ عام، فإنّها تشكل مساحةً داخليةً تحددها أضلاعها الثلاث، والتي يطلق عليها هنا مساحة المثلث الداخلية، في حين يطلق على الجزء الخارجي المتبقي من المستوي الموجود فيه المثلث، بالمساحة الخارجية. لنتعرف بدايةً على المثلث المتساوي الأضلاع وبعض خصائص، ثم نتعلم كيفية حساب مساحة المثلث متساوي الأضلاع.

المثلث متساوي الأضلاع

هو عبارةٌ عن أحد أنواع المثلثات، والتي هي حالةٌ خاصة من المثلث متساوي الساقين، حيث تكون له ثلاثة أضلاعٍ متساوية في الطول، وكذلك ثلاث زوايا متطابقة، يبلغ قياس كلٍ منها 60 درجةً. إذن، المثلث المتساوي الأضلاع هو المضلع الفريد الذي نستطيع تحديد هيكله الكامل بمجرّد معرفة طول ضلع واحدة، طبعًا ليكتمل المثلث عمليًّا، يجب إجراء القياسات والرسوم كرسم دائرةٍ وبمعرفة نصف قطرها، وغير ذلك.

خصائص المثلث متساوي الأضلاع

  • تكون الأضلاع الثلاثة متساويةً في المثلث متساوي الأضلاع.
  • يعتبر هذا المثلث مضلعًا منتظمًا ذا ثلاثة جوانب.
  • للمثلث متساوي الأضلاع ثلاث زوايا جميعها متطابقة مع بعضها ويبلغ قياس كل منها 60 درجةً حصرًا.
  • مساحة المثلث متساوي الاضلاع تعبر عن الحيز الذي يشغله هذا المثلث.
  • يتميز المثلث المتساوي الأضلاع في كون الخط المتوسط النازل إلى الضلع المقابل للرأس، والخط المنصف لزاوية الرأس والعمود النازل من الرأس لجميع رؤوس المثلث، متشابهين.
  • في المثلث متساوي الأضلاع، يكون مركز التعامد (هو النقطة التي تلتقي فيها ارتفاعات المثلث) والنقطة المركزية (وهي النقطة التي تتقاطع فيها المتوسطات الثلاث للمثلث) هما نقطة واحدة.
  • يتميز المثلث متساوي الأضلاع بأنّ المتوسطات ومنصفات الزاوية والارتفاعات لجميع أضلاعه، متماثلةٌ من حيث الطول، إذ تشكل هذه الخطوط محاور تناظرٍ للمثلث متساوي الأضلاع، فكل منها يقسم المثلث إلى مثلثين قائمَين متطابقين تمامًا.§.

كيفية حساب مساحة المثلث متساوي الاضلاع

تعبر كلمة مساحة عن اتساع سطحٍ محدد ثنائي الأبعاد، بمعنى أنّ مساحة أي مستوٍ ما هي إلا عبارة عن مقدار الحيز الذي يشغله هذا المستوي، وتعتبر عملية حساب المساحة للأشكال الهندسية ذات أهميةٍ كبيرةٍ في العديد من التطبيقات الموجودة في حياتنا. يعتمد حساب المساحة، على شكل النموذج الذي لدينا سواءً منحني أو مضلع أو غير ذلك، ويعتبر إيجاد مساحة المثلث متساوي الاضلاع أمرًا سهلًا قياسًا بحساب مساحة المثلث بشكله العام حيث تكون العملية في الأخير أكثر تعقيدًا.

يمكننا استنتاج معادلة مساحة المثلث متساوي الاضلاع كالتالي: باعتبار أنّ طول أحد أضلاع المثلث هو S، وبحكم أنّ مساحة أي مثلثٍ تعطى بالعلاقة:

المساحة = (القاعدة*الارتفاع)/2

وفي حال قمنا برسم خطٍ عموديٍّ من رأس المثلث باتجاه القاعدة، سنحصل على مثلثين متطابقين وقائمي الزاوية، وبالتالي سيكون طول القاعدة لكلٍ منهما هو S/2، في حين أنّ طول الوتر سيكون S، أمّا طول الارتفاع فسنرمز له (h)، وحسب نظرية فيثاغورث في المثلث القائم والتي تنص على:

مربع طول الوتر = مجموع مربعي طولي الضلعين القائمين

يكون:

h2 + (S/2)2 = s2
2(h2 = S2 - (S/2
h2 = (3*S2)/4
h = √3/2 * S

إذًا، أصبح لدينا طول الوتر (h)، وبما أنّ مساحة المثلث تساوي جداء نصف القاعدة بالارتفاع، وباعتبار أنّ B هي مساحة كل جزءٍ من جزأي المثلث الكامل، نحسبها مرةً واحدةً ويصبح لدينا:

B = 0.5 * S/2 * √3/2 * S
B = 0.5 * √3/4 * S2 = √3/8 * S2

أمّا مساحة المثلث المتساوي الاضلاع الكبير، هي عبارةٌ عن مجموع مساحتي المثلثين القائمين، أو ببساطةٍ نضرب مساحة أحدهما بالعدد 2، أي:§.

A = 2 * B = √3/4 * S2

إذن، إليك الخطوات الرئيسية لحساب مساحة المثلث متساوي الاضلاع:

  1. نقوم بكتابة المعادلة التي تعبر عن مساحة المثلث المتساوي الاضلاع والتي استنتجناها سابقًا:
    A= √3/4 * S2
    مع الأخذ بعين الاعتبار أنّ (A) تعبر عن مساحة المثلث و(S) هي طول أحد أضلاعه (بحكم أنّ جميع أضلاعه متساوية الطول).

  2. وبكل بساطةٍ، نقوم بعدها بتعويض قيمة طول ضلع المثلث في المعادلة السابقة، للحصول على مساحة المثلث المتساوي الاضلاع.

و كمثالٍ على ذلك، في حال كان لدينا مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه 10 cm، ونريد حساب مساحته، يكفي فقط أن نعوض قيمة طول الضلع في علاقة مساحة المثلث متساوي الاضلاع المذكورة سابقًا، أي:§ §.

A = √3/4 * S2
A = √3/4 * 102
A = √3/4 * 100
A = 25 * √3 cm2
7٬424 مشاهدة