مساحة سطح الهرم (مع أمثلة مشروحة)

الموسوعة » رياضيات » مساحة سطح الهرم (مع أمثلة مشروحة)

الهرم هو عبارةٌ عن شكلٍ فراغيٍّ ثلاثي الأبعاد له قاعدةٌ مضلعة الشكل حيث أنّ جميع أركان القاعدة تلتقي في نقطةٍ واحدةٍ تدعى رأس الهرم، وبذلك ستكون لدينا مجموعة من المثلثات يشكلها كل ضلعٍ من أضلاع القاعدة مع رأس الهرم. فلنتعرّف معًا على أنواع الهرم وبعض صفاته وكيفية حساب مساحة سطح الهرم باختلاف أنماطه.

أنواع الأهرامات

  • الهرم الثلاثي: حيث يتميز هذا الهرم بقاعدةٍ مثلثية الشكل.
  • الهرم المربع: تكون قاعدته مربعة الشكل.
  • الهرم الخماسي: وهو هرمٌ ذو قاعدةٍ خماسية الشكل.
  • الهرم القائم: يقع الرأس فيه فوق منتصف القاعدة مباشرةً.
  • الهرم المائل: هرمٌ مخالفٌ للسابق؛ إذ أنّ الرأس فيه لا يقع فوق منتصف القاعدة مباشرةً.

الهرم المنتظم وغير المنتظم

يمكنك ببساطةٍ التفريق بين الهرم المنتظم وغير المنتظم، إذ أنّ الهرم المنتظم يتميز بقاعدةٍ مضلعةٍ منتظمةٍ، في حين أنّ الهرم غير المنتظم تكون له قاعدةٌ غير منتظمةٍ.§.

حساب مساحة سطح الهرم

نظريًّا يمكن حساب مساحة سطح الهرم بسهولةٍ؛ إذ أنّه يساوي مجموع مساحة القاعدة مع مساحة السطوح الجانبية له، وفي حين أنّ القاعدة يمكن أن تأخذ شكل أي مضلعٍ، فلا بد من معرفة كيفية الحصول على مساحة أيٍّ منها، بما فيها المضلعات الخماسية والسداسية، أما في حال كان لدينا هرم منتظم بقاعدةٍ مربعةٍ سيصبح الأمر بسيطًا إلا أنّ ذلك يتطلب معرفة طول ضلع القاعدة المربعة وكذلك الارتفاع المائل للهرم.

مساحة سطح الهرم المنتظم

Time needed: 2 minutes.

  1. لا بد من معرفة العلاقة التي تعطي مساحة سطح الهرم المنتظم وهي
    SA = (p×h)/2 +B
    وذلك باعتبار أنّ SA هي المساحة السطحية الكلية للهرم، وp هو محيط القاعدة، وh هو الارتفاع المائل للهرم، وB هي مساحة القاعدة.
    هنا يجب الانتباه إلى أنّ ارتفاع الهرم يختلف عن الارتفاع المائل له بمعنى أنّ الارتفاع الأساسيّ هو المسافة العمودية بين القاعدة ورأس الهرم (مسقط الرأس العمودي على مستوي قاعدة الهرم)، في حين أنّ الارتفاع المائل هو المسافة المائلة التي تسقط من قمة الهرم على ضلع القاعدة بشكلٍ متعامدٍ (البعد بين رأس الهرم وإحدى أضلاع القاعدة).

  2. الآن نقوم بحساب محيط القاعدة لإدخاله في المعادلة وفي حال لم يكن معلومًا بالنسبة لنا يمكننا حسابه عبر ضرب طول إحدى أضلاع القاعدة بعددها، وكمثالٍ على ذلك في حال كان لدينا هرمٌ سداسيٌّ طول ضلع قاعدته هو 4 سم، سيكون عدد أضلاع هذه القاعدة 6، وسيكون:
    محيط القاعدة = 6×4 = 24 سم
    وإذا قمنا بتعويض هذه القيم في المعادلة المذكورة أعلاه سيكون لدينا:
    SA = (24h)/2 +B

  3. أما عن الارتفاع المائل، فيفترض أن يكون معطى لدينا، إذ أنّه من غير الممكن استخدام هذه الطريقة في حال عدم وجوده، وبالعودة إلى مثالنا، وفي حال كان الارتفاع المائل هو 12 سم ستصبح المعادلة:
    SA = (24×12)/2 +B

  4. الآن سنقوم بحساب مساحة القاعدة، وبالعودة إلى الهرم السداسي الموجود لدينا تعطى معادلة مساحة القاعدة بالشكل:
    A = (3√3×S2)/2
    حيث أنّ S هي طول ضلع الهرم السداسي والذي يبلغ 4 سم وبالتالي تصبح مساحة القاعدة:
    A = (3√3×42)/2 = (48√3)/2 = 41.57cm2

  5. من أجل حساب مساحة سطح الهرم الجانبية علينا ضرب قيمة محيط القاعدة مع قيمة الارتفاع المائل للهرم وتقسيم النتيجة على 2، بمعنى آخر حساب مساحة أحد الوجوه الجانبية وضربها بعدد أضلاع القاعد، وفي مثالنا تكون المساحة الجانبية للهرم السداسي هذا:§.
    A2 = (24×12)/2 = 288/2 = 144 cm2

  6. الآن نقوم بجمع مساحة القاعدة مع المساحة الجانبية للهرم للحصول على المساحة السطحية الكلية للهرم السداسي ويساوي:
    SA = 144+ 41.57 = 185.57 cm2

مساحة سطح الهرم المربع

الهرم المربع هو عبارةٌ عن هرمٍ يتميز بقاعدةٍ مربعة الشكل وأربعة وجوه تلتقي في قمة الهرم، وفي حال وقع رأس قمة الهرم فوق مركز القاعدة مباشرةً سيكون الخط الواصل بين النقطتين عمودًا على القاعدة ويكون الهرم مربعًا منتظمًا، حيث يكون للهرم المربع نوعان هما الهرم المربع المتساوي الأضلاع والهرم المربع المنتظم.

الهرم المربع متساوي الأضلاع

هو عبارةٌ عن هرمٍ حوافه جميعها متساوية الطول، وبذلك فإنّ الأوجه الجانبية ستشكل مثلثات متساوية الأضلاع وتعطى مساحة سطح هذا الهرم بالعلاقة:

A = (1 + √3)l2

حيث أنّ l هي طول الحافة.

الهرم المربع المنتظم

وهو هرمٌ لديه حوافٌ جانبيةٌ متساوية الطول، وتشكل جوانبه مثلثات متطابقة ومتساوية الساقين، وتعطى مساحة سطح الهرم المربع المنتظم بالعلاقة:

(SA = l2+l√(l2+(2h)2

حيث l هي طول ضلع القاعدة، وh هو ارتفاع الهرم.

بشكلٍ عام؛ وكما ذكرنا، يتم حساب المساحة الإجمالية لأي هرمٍ وفق العلاقة:

SA = (ph)/2 +B

حيث أنّ p هي محيط القاعدة، وh هو الارتفاع المائل وB هي مساحة القاعدة.§.

فمثلًا لو أردنا حساب مساحة سطح هرم مربع يبلغ ارتفاعه المائل 10 سم وطول ضلع قاعدته 5 سم سيكون:

محيط القاعدة = 4×5 = 20 سم
مساحة القاعدة = 5×5 = 25 سم2

وبالرجوع إلى علاقة المساحة السطحية للهرم تكون هذه المساحة تساوي:§.

SA = 0.5×20×10+25 = 125 cm2
1٬304 مشاهدة