مساحة متوازي الاضلاع بكل انواعه مع امثلة توضيحية لحساب المساحة

الموسوعة » رياضيات » مساحة متوازي الاضلاع بكل انواعه مع امثلة توضيحية لحساب المساحة

لا شك بأنّ هناك عددًا كبيرًا من الأشكال الهندسية التي تتنوع من حيث أشكالها وأحجامها، فمنها ثنائية الأبعاد ومنها ثلاثية الأبعاد، ومن الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد لدينا المثلث والدائرة والمربع والمستطيل والمعين ومتوازي الاضلاع وغيرها، حيث تختلف هذه الأشكال عن بعضها من حيث المساحة والمحيط والخصائص أيضًا. موضوع مقالنا هذا هو حساب مساحة متوازي الاضلاع ولكن لنتعرف بدايةً على هذا الشكل الهندسي من حيث خصائصه، وأنواعه وغيرها.

متوازي الأضلاع

متوازي الأضلاع هو عبارة عن رباعي أضلاع، فيه كل ضلعين متقابلين متوازيين ومتساويين من حيث الطول، ويتميز متوازي الأضلاع بمجموعةٍ من الخصائص، سنتحدث عنها في الفقرة اللاحقة.

لمتوازي الأضلاع أربعة رؤوس (أربع زوايا) وهناك خاصية تربط الزوايا الداخلية لمتوازي الأضلاع مع بعضها البعض، وهي أنّ كل زاويتين متقابلتين متساويتين بالقياس، كما أنّ مجموع هذه الزوايا الداخلية مجتمعة هو 360 درجةً، في حين أنّ كل زاويتين تقعان على ضلعٍ واحدٍ (يمكننا تسميتهما زاويتان متتاليتان) متكاملتان بمعنى أنّ مجموعهما يساوي 180 درجةً.§.

خصائص متوازي الأضلاع

بفرض كان لدينا متوازي الأضلاع ABCD، كما هو موضحٌ بالشكل:

متوازي الأضلاع
متوازي الأضلاع

يمتلك متوازي الأضلاع الخصائص التالية:

  • كل زاويتين متقابلتين في متوازي الأضلاع متساويتان، بمعنى أنّ (الزاوية A = الزاوية C) وكذلك (الزاوية B = الزاوية D).
  • الزوايا المتتالية في متوازي الأضلاع في أي جانبٍ كان، هي زوايا متكاملة أي أنّ مجموعها يساوي 180 درجةً، بمعنى أنّ مجموع الزاويتين A وD هو 180 درجةً، وكذلك ومجموع D وC هو 180 درجةً، وكذلك الأمر بالنسبة لباقي الزوايا المتتالية.
  • أطوال الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية في الطول، أي أنّ (AB = DC) و (AD = CB) وكل ضلعين متقابلين فيه متوازيان أي (AB ∥ DC) و (AD ∥ BC).
  • إنّ محيط متوازي الأضلاع هو عبارة عن مجموع أطوال أضلاعه الأربعة، فإذا فرضنا أن طول (AB = a) و (BC = b)، يكون محيط متوازي الأضلاع (2a + 2b) بحسب الخصائص السابقة الذكر.
  • لمتوازي الأضلاع قطران يصلان الزوايا المتقابلة مع بعضها، وهما AC وBD في الشكل إعلاه، وهذين القطرين يتقاطعان في نقطةٍ واحدةٍ O، وكذلك إنّ تقاطع هذين القطرين يقسم متوازي الأضلاع إلى أربعة مثلثاتٍ يتطابق كل اثنين متقابلين منها مع بعضهما، أو نقول أن كل قطرٍ يقسم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين. هنا، ندعو قطرا متوازي الأضلاع متناصفان؛ أي كل منهما ينصف الآخر.§.

ولكن يجب الانتباه إلى النقاط التالية:

  • الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع متساوية في الطول، إلا أنّ الأضلاع المتجاورة ليس بالضرورة أن تكون كذلك.
  • زوايا متوازي الأضلاع لا يمكن أن تكون قائمةً بالوضع العام، لأنّه إذا تحقق ذلك؛ فسيتحول متوازي الأضلاع إلى شكلٍ هندسيٍّ آخر إما المربع أو المستطيل بالاعتماد على خصائصَ أخرى.
  • إنّ أقطار متوازي الأضلاع ليست متساويةً في الطول، كما أنّها لا يمكن أن تكون متعامدةً.
  • أقطار متوازي الأضلاع لا تنصف زواياه التي تمر بها.§.

أنواع متوازي الأضلاع

  • المعين وهو عبارة عن متوازي أضلاع جميع أضلاعه متساوية في الطول.
  • المستطيل هو عبارة عن متوازي أضلاع جميع زواياه قائمة، كما أنّ قطراه متساوية الطول.
  • المربع هو متوازي أضلاع تساوت أطوال جميع أضلاعه، وجميع زواياه قائمة، فضلًا عن كون أقطاره متساوية في الطول.§.

الشروط الواجب توافرها لنقول عن شكل هندسي أنه متوازي أضلاع

نقول عن شكلٍ هندسيٍّ ما أنه متوازي أضلاع في حال تحققت واحدة من الشروط التالية:

  • في حال كان كل ضلعين متقابلين فيه متوازيين.
  • في حال كان كل ضلعين متقابلين فيه متطابقين أو متساويين في الطول (فعند تحقق هذا الشرط سيكون كل ضلعين متقابلين متوازيين حتمًا).
  • في حال كان يتضمن ضلعين متقابلين فقط متوازيين ومتساويين في الطول، وهنا يجب أن يكون زوج الضلعين الآخرين متوازٍ أيضًا.§.

حساب مساحة متوازي الاضلاع

لدينا طريقتان لحساب مساحة متوازي الاضلاع، بالاعتماد على الارتفاع المتعلق بالقاعدة، وفي حال كان الارتفاع مجهولًا:

حساب مساحة متوازي الاضلاع بالاعتماد على أبعاده

حيث إذا افترضنا أنّ أبعاد متوازي الأضلاع هي a و b (القاعدة) والارتفاع المتعلق بالقاعدة هو h كما في الشكل:

متوازي الاضلاع
متوازي الاضلاع

تعطى مساحة مساحة متوازي الاضلاع بالشكل:

المساحة = القاعدة * الارتفاع المتعلق بها

أي:

A = b * h

مثال: إذا كان لدينا متوازي أضلاع طول قاعدته 5 سم، وطول الارتفاع المتعلق بالقاعدة 3 سم ستكون مساحته:
A = b * h = 5 * 3 = 15 cm2

حساب مساحة متوازي الاضلاع في حال كان الارتفاع مجهول

وفي هذه الحالة، يمكننا استخدام علم المثلثات والزوايا لحساب المساحة، تحسب مساحة متوازي الاضلاع وفق العلاقة التالية:

(A = a * b * sin(x

حيث a و b هما طولا الضلعين المتتالين في متوازي الأضلاع، و x هي الزاوية التي يحصرها هذان الضلعان.

مثال: إذا كان لدينا متوازي أضلاع طولي ضلعيه 3 سم و4 سم، والزاوية بينهما هي 30 درجةً، سنحصل على مساحة متوازي الاضلاع عبر استخدام العلاقة السابقة بالشكل:
A = a * b * sin(x) = 3 *4 * sin(30) = 6 cm2§.

224 مشاهدة