يُعتبر التوازي والتعامد مفهومين أساسيين من مفاهيم الرياضيات الكثيرة، خاصةً ما يتعلق بعلم الهندسة، حيث يُعتبران أساسًا في كثيرٍ من النظريات المستخدمة في حل المسائل الهندسية.

مفهوما التوازي و التعامد

مع أننا نستخدم المصطلحين معًا، لكن لتوضيح معناهما يجب التكلم عن التوازي والتعامد كلٍ على حدا.

ما هو التوازي

عند دراسة مفهومي التوازي والتعامد، يمكن أن نقول عن جسمين أنهما متوازيان إذا كان من المستحيل التقاؤهما مهما امتدا، ويُعبر عن هذا التوازي في لغة المعادلات الخطية؛ بأن كلًّا من الجسمين لديه ميل ثابت لا يتغير مهما امتد أو تحرك للأمام أو الخلف، ووفق أساسيات الهندسة الإقليدية -التي وضعها إقليدس- لا يمكن لأي جسمٍ أن يوازي نفسه؛ فهو يتقاطع مع نفسه في كل جزءٍ من أجزائه إلى ما لا نهاية، ويُرمز لأي شيئين متوازيين بالرمز (∥)، ويمكن تذكر خاصية التوازي بسهولةٍ من خلال تذكر علامة التساوي (=).

طبق العلماء مفهومي التوازي والتعامد في الفضاء ثلاثي الأبعاد، حيث يُعبّر عن التوازي بأن الأجسام المتوازية تقع في نفس المستوى ولكنها لا تتقاطع أبدًا، مع إمكانية وجود بعض الأجسام الأخرى في الفضاء الثلاثي الأبعاد، التي لا تتقاطع مع نفسها، ولا تقع في نفس المستوى، تعرف هذه الخاصية بخاصية الانحراف.1

يُقال أن الخطين متوازيان، عندما يكون لهما نفس الميل في معادلة الخطين التي يعبر عنها بالعلاقة التالية: y = mx + b ، إذ يُشير m إلى الميل.

على سبيل المثال يمكن إيجاد معادلة الخط الموازي للخط الذي يتم التعبير عنه بالعلاقة التالية: y = 2x + 1 والمار من النقطة (5,4). نلاحظ من معادلة الخط أن الميل هو 2، نقوم بتعويض إحداثيات النقطة التي يمر بها الخط الموازي في معادلة الخط فينتج لدينا:

(y − y1 = 2(x − x1

(y − 4 = 2(x − 5

y − 4 = 2x − 10

y = 2x – 6

فتكون بذلك المعادلة السابقة هي المعادلة المعبرة عن الخط الموازي للخط y = 2x + 1.

ما هو التعامد

عند دراسة التعامد يمكننا القول عن جسمين أنهما متعامدين؛ عندما يتقاطعان مع بعضهما البعض بزاويةٍ قائمةٍ (90 درجة)، يُعبّر عن خاصية التعامد برسم مربعٍ صغيرٍ عند زاوية التقاطع. يجب التمييز أن الخطوط المتعامدة هي دائمًا خطوطٌ متقاطعةٌ؛ لكن العكس غير صحيحٍ، إذ أن الخطوط المتقاطعة ليست دائمًا متعامدةً مع بعضها البعض، وأنه إذا كان خطان متعامدين على نفس الخط فهما متوازيان مع بعضهما ولن يتقاطعان أبدًا.

إذا كان ميل أحد الخطوط m فيكون ميل الخط المتعامد عليه هو m-1، على سبيل المثال لإيجاد الخط المار بالنقطة (7,2) والمتعامد على الخط الذي يعبر عنه بالعلاقة التالية: y=−4x+10، حيث نلاحظ أن ميل الخط هو -4 بالتالي يكون ميل الخط المتعامد عليه هو: m = -1/-4 = 1/4، فنقوم بتعويض الميل وإحداثيات النقطة التي يمر بها الخط المتعامد في معادلة الخط؛ فينتج لدينا: (y − y1 = (1/4)(x − x1

(y − 2 = (1/4)(x − 7

y − 2 = x/4 − 7/4

y = x/4 + 1/4

فتكون بذلك المعادلة السابقة هي المعادلة المعبرة عن الخط المتعامد على الخط y = -4x + 10.2

أمثلة عن التوازي والتعامد

يوجد الكثير من الأمثلة في الحياة اليومية التي تحتوي على خاصيتي التوازي والتعامد، منها:

أمثلة عن التوازي

  • سكة القطار: تمثل السكك الحديدية للقطارات خطوطًا متوازيةً، حيث تبقى المسافة بين قضبان السكة ثابتةً على طول السكة.
  • أسطر الدفتر: تعد خطوط الكتابة في الدفاتر والمفكرات مثالًا على الخطوط المتوازية.
  • مواقف السيارات: تُرسم خطوط الفصل بين السيارات في المواقف العامة على شكل خطوطٍ متوازيةٍ.3

أمثلة عن التوازي

يمكننا عند دراسة مفهومي التوازي والتعامد في الرياضيات، ملاحظة العديد من الأشياء المتعامدة في الحياة اليومية أكثر هذه الأمثلة هي:

  • الزوايا بين جدران المنزل والحائط مثالٌ على التعامد.
  • الخطوط الفاصلة بين بلاط أرضية المنزل.
  • رمز الصليب.
  • حرف الـ “H” من الأبجدية الإنكليزية.
  • تقاطع أضلاع المربع والمستطيل وضلعي المثلث القائم حيث تتقاطع جميعها بزاويةٍ قائمةٍ.4

خصائص الخطوط المتوازية

تعد الخطوط المتوازية من أكثر الاستخدامات العملية لخاصية التوازي في جميع النواحي، عندما يتم قطع خطين متوازيين بواسطة خطٍ ثالثٍ، تتشكل بعض الخصائص الهامة، منها:

  • تكون الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية.
  • تكون الزوايا المتعاكسة رأسيًا متساوية.
  • تكون الزوايا المتبادلة داخليًا متساوية.
  • تكون الزوايا المتبادلة خارجيًا متساوية.
  • تكون الزوايا الداخلية على نفس الجانب للخط القاطع للخطين المتوازيين متكاملة.5

ويعد العكس صحيحًا لكل الخصائص السابقة:

  • إذا كانت الزوايا المتقابلة بالرأس متساويةً؛ يكون الخطان المستقيمان متوازيين مع بعضهما البعض.
  • إذا كانت الزوايا المتعاكسة رأسيًا متساوية؛ يكون الخطان المستقيمان متوازيين مع بعضهما البعض.
  • إذا كانت الزوايا المتبادلة داخليًا متساويةً؛ يكون الخطان المستقيمان متوازيين مع بعضهما البعض.
  • إذا كانت الزوايا المتبادلة خارجيًّا متساويةً؛ يكون الخطان المستقيمان متوازيين مع بعضهما البعض.
  • إذا كانت الزوايا الداخلية على نفس الجانب للخط القاطع للخطين المتوازيين متكاملةً يكون الخطان المستقيمان متوازيين مع بعضهما البعض.
  • لذلك يمكن استخدم الخصائص السابقة عند الحاجة إلى إثبات أن خطوط معينة متوازية.6

المراجع