هي أحد أقسام الرياضيات المعنيّة بدراسة الأشكال المستوية والمجسمات، وسمّيت الهندسة الإقليدية بهذا الاسم نسبةً لعالم الرياضيات اليوناني إقليدس الذي وضع أسسها وقواعدها في كتابه “العناصر”، وقد أنشأ نظامه الهندسي على العديد من الاقتراحات المبنية على البديهيات والنظريات التي اعتمد عليها حوالي عام 300 قبل الميلاد.

هذه الهندسة هي التي تتلمذ عليها طلّاب المدارس والثانويات. وكانت الهندسة الإقليدية هي الهندسة المعروفة حتى النصف الثاني من القرن التاسع عشر، إلى أن انتبه علماء الرياضيات إلى الهندسة غير الإقليدية. ويمكن القول أن الهندسة الإقليدية هي هندسة المسطرة والفرجار، فلم تعتمد في رسم أشكالها الهندسية إلا على هاتين الأداتين. وتقسم الهندسة الإقليدية إلى نوعين:1

  • الهندسة المستوية، تختص بدراسة الأشكال ثنائية الأبعاد. 
  • هندسة المجسمات، تختص بدراسة الأشكال ثلاثية الأبعاد.2

مسلمات إقليدس الهندسية 

إقليدس (أبو الهندسة) افتتح كتابه “العناصر” بوضع مسلمات تساعد في طريقة حل المشكلة، والمسلمات هي تصريحاتٌ غير مثبتةٍ أي من دون دليلٍ. وهذه المسلمات معروفة باسم البديهيات الخمسة، والتي هي:

  1. من الممكن إنشاء قطعةٍ مستقيمةٍ من نقطةٍ إلى نقطة. 
  2. من الممكن مد قطعة مستقيمة بطولٍ محددٍ إلى اللانهاية.
  3. من الممكن رسم أي دائرةٍ إذا توفر لدينا مركزها ونصف قطرها. 
  4. قياس جميع الزوايا القائمة 90 درجة.
  5. إذا تقاطع مستقيمٌ مع مستقيمين آخرين، بحيث يكون مجموع الزاويتين الداخلتين على جهةٍ واحدةٍ من الخط القاطع أقل من مجموع الزاويتين القائمتين، فإن المستقيمان سوف يلتقيان إذا تمددا على نفس الجهة، وليس الجهة الأخرى. وهذا ما يُعرف بمسلمة التوازي. 

تشرح هذه البديهيات أمورًا معينةً، مثلًا المسلمات الأولى والثانية والثالثة توضح الخطوط المستقيمة والدوائر باعتبارها أساسيات هندسة إقليدس، البديهية الرابعة توضح قياسات الزوايا والأشكال الثابتة، أما البديهية الخامسة تشير أنه في حالة وجود نقطةٍ وخطٍ مستقيمٍ، يمر خلال هذه النقطة خط مستقيم واحد فقط موازيًا للخط المحدد.3

مسلمات الهندسة الإقليدية الشائعة (العامة) 

  1. الأشياء المساوية لنفي الشيء متساوية. 
  2. إذا أضيفت قيم متساوية إلى أخرى متساوية تكون النتائج متساوية.
  3. إذا طرحت قيمٌ متساويةٌ من أخرى متساوية تكون النتائج متساوية 
  4. الأشياء المتطابقة مساوية لبعضها. 
  5. الكل أكبر من الجزء.

أساسيات الهندسة الإقليدية

ترتكز الهندسة الإقليدية على ثلاثة أمورٍ أساسيةٍ، وهي النقطة والخط المستقيم والسطح. 

النقاط

النقطة هي ما ليس له أبعادٌ ( طول أو عرض) ولا أجزاء لكن لها موقع، وتشمل:

  • النقاط الخطية: هي النقاط الواقعة على نفس الخط. 
  • القطعة المستقيمة: هي الخط المستقيم المحدد بنقطتي نهاية.
  • الشعاع: جزء من الخط المستقيم له نقطةٌ واحدةٌ وجهةٌ. 
  • نقطة التقاطع: هي نقطة التقاء أو تقاطع خطين مستقيمين. 
  • نقطة المنتصف: هي النقطة المتمركزة في المنتصف تمامًا للخط المستقيم.

الزوايا

يتم قياس الزوايا في الهندسة الإقليدية بالدرجات أو بالراديان، وتشمل:

  • الزاوية القائمة: هي الزاوية التي قياسها 90 درجة. 
  • الزاوية المنفرجة: هي الزاوية التي قياسها أكثر من 90 درجة. 
  • الزاوية الحادة: هي الزاوية التي قياسها أقل من 90 درجة. 
  • الزاوية المستقيمة: هي الزاوية التي قياسها 180 درجة. 
  • زاوية الانعكاس: هي الزاوية التي قياسها أكثر من 180 درجة. 
  • الزاويتان المتجاورتان: هما الزاويتان اللتان يكون لها رأس وضلع مشترك. 
  • الزاويتان المتتامتان: هما الزاويتان اللتان مجموع قياسهما 90 درجة.
  • الزاويتان المتكاملتان: هما الزاويتان اللتان مجموع قياسهما 180 درجة.
  • الزاويتان الرأسيتان: هما الزاويتان اللتان على شكل X، وتشتركان في قطعتين مسقيمتين، ولهما نفس القياس. 
  • الزاويتان المتقابلتان: هما الزاويتان اللتان على شكل F تشتركان في نفس القطعة المستقيمة المتقاطعة مع خطوطٍ متوازيةٍ، وتكون في نفس الموقع بشكل متقابل. ولهما نفس قيمة الدرجة.
  • الزاويتان الداخليتان: هما الزاويتان اللتان على شكل Z، وتشتركان بنفس القطعة المستقيمة المتقاطعة مع خطين متوازيين، وتكونان في موقعين متعاكسين، ولهما نفس قيمة الدرجة.4

الخطوط

الخط المستقيم هو الشيء الممتد في اتجاهين متعاكسين دون حدود، وتشمل الخطوط في الهندسة الإقليدية :

  • الخطوط المتوازية: الممتدة إلى اللانهاية دون تقاطع. 
  • الخطوط المتعامدة: هي الخطوط المتقاطعة بزاوية 90 درجة بالضبط. 
  • الخطوط المتزامنة: هي الخطوط المتقاطعة كلها بنفس النقطة.
  • الخطوط المنحرفة: هي التي ليست متوازية أو متعامدة او متقاطعة. 
  • المنصف العمودي: هو الخط المتعامد مع خطٍ آخر في نقطة المنتصف. 

الأشكال الرباعية

  • متوازي الأضلاع: شكلٌ رباعيٌّ، فيه كل ضلعين متقابلين متساويين وكل زاويتين متقابلتين متساويتين، وكل زاويتين متجاورتين مجموعهما 180 درجة. 
  • المستطيل: شكلٌ رباعيٌّ كل ضلعين فيه متقابلين متساويين، وجميع زواياه قائمة.
  • المربع: شكلٌ رباعيٌّ جميع أضلاعه متساوية وزواياه جميعها قائمة.

الدائرة

هي مجموعة نقاط، المسافة بين كل منها ونقطة المركز واحدة، وتسمى المسافة الفاصلة بين كل من هذه النقاط ونقطة المركز نصف قطر. 

التطابق والتشابه

  • التطابق: هو تطابق شكلٌ مع شكلٍ آخر بالشكل والحجم.
  • التشابه: هو تطابق شكلٌ مع شكلٍ آخر بالشكل، وليس شرطًا بالحجم.

المراجع