محيط الدائرة (مع أمثلة مشروحة)

الموسوعة » رياضيات » محيط الدائرة (مع أمثلة مشروحة)

سنتعرف في هذا المقال على كيفية حساب محيط الدائرة بمساعدة عددٍ لا بأس به من الأمثلة المشروحة، ولكن قبل أن نبدأ، إليك شرحًا مختصرًا عن الدائرة، ميزاتها، ما هو وتر الدائرة وما هو قوس الدائرة؟.

تعريف الدائرة

الدائرة هي شكلٌ هندسيٌّ يعبر عن كافة النقاط ضمن مستوٍ واحدٍ، والتي تبعد مسافةً واحدةً عن نقطةٍ ما، تعتبر هذه النقطة مركز الدائرة، ويسمى الطول الذي يعبر عن بعد هذه النقاط عن المركز بنصف القطر، أما قطر الدائرة فهو المستقيم الواصل بين نقطتين من الدائرة والمار في مركزها، كما يطلق على أي مستقيمٍ يصل نقطتين من الدائرة ولا يمر بمركزها مصطلح الوتر، والدائرة هي كافة النقاط التي تبعد عن نقطة المركز مسافةً واحدةً هي نصف القطر، أما النقاط من المستوي التي تنحصر ضمن محيط الدائرة، فتدعى بالنقاط الداخلية، ولا تحتسب من الدائرة.

قوس الدائرة هو الجزء من محيط الدائرة، ويمكننا أن نطلق على القوس مصطلح يتناسب مع زاويته، فالأقواس الصغيرة تتراوح زواياها بين 0-180 درجةً، أما الأقواس الكبيرة فتزيد درجتها عن 180 درجةً، ولا تتخطى 360 درجةً، في حال كانت زاوية القوس 360 درجةً، يكون القوس عبارة عن محيط الدائرة بشكلٍ كاملٍ.§.

قانون حساب محيط الدائرة

يعطى محيط الدائرة، ويرمز له بالرمز “C” بالقانون التالي:

محيط الدائرة = 2 * نصف قطر الدائرة * π أو π * قطر الدائرة

أي:

2 * π * r أو π * R

حيث π=3.141592، وR قطر الدائرة، وr نصف قطر الدائرة.

كما يمكن حساب المحيط للدائرة إذا ما عرفنا مساحتها، من خلال تطبيق القانون التالي:

محيط الدائرة = الجذر التربيعي للجداء (4 * مساحة الدائرة * π)

(C = √(4 * π * A

حيث A مساحة الدائرة، وC هي المحيط.§.

أمثلة مشروحة عن كيفية حساب محيط دائرة

المطلوب حساب المحيط لدائرة قطرها 8 إنش.

محيط الدائرة = π * قطر الدائرة = π * 8
محيط الدائرة = 8π، وبالتعويض بقيمة π نجد أن الناتج يساوي 25.136 إنش.

احسب محيط دائرة نصف قطرها 5 إنش.

محيط الدائرة= 2 * π * نصف قطر الدائرة = 2 * π * 5
أي يكون المحيط = 10π، وبالتعويض في قيمة π نجد:
المحيط للدائرة = 31.24 إنش.

ما هو طول نصف قطر دائرة، محيطها 22π إنش.

محيط الدائرة = 2 * π * نصف قطر الدائرة أي 22π = 2*π*r
نقوم بتقسيم طرفي المعادلة على π لتبسيط عملية إيجاد الحل، فتصبح المعادلة على الشكل التالي:
2r= 22
نصف قطر الدائرة = 22/2= 11 إنش.

دائرة محيطها 102 إنش، المطلوب حساب قطرها.

قانون المحيط = π * قطر الدائرة أي 102 = π * قطر الدائرة
بقسمة طرفي المعادلة على π ستصبح المعادلة على الشكل التالي:
قطر الدائرة = 102/π، بتعويض قيمة π= 3.14 في المعادلة نجد أن:
قطر الدائرة = 32.5 إنش.

دائرة مساحتها 36π إنش^2، المطلوب حساب محيطها.

مساحة الدائرة = π * (نصف قطر الدائرة)2، بتعويض المساحة في المعادلة يصبح لدينا 36π = π*r2
لحذف π من طرفي المعادلة، تصبح كما يلي:
r2= 36 ومنه بجذر الطرفين يكون r= 6.
بعد أن قمنا بإيجاد نصف قطر الدائرة، نعوض القيمة في معادلة المحيط:
قانون المحيط للدائرة = 2 * π * نصف قطر الدائرة
إذن وبالحساب يكون محيط الدائرة = 12π إنش.

أي من القيمتين أكبر، قيمة محيط دائرة مساحتها 25π إنش^2، أو قيمة محيط مربع طول ضلعه 7 أنش؟

محيط المربع= 4 * طول ضلعه = 4 * 7= 28 إنش.
مساحة الدائرة = π * (نصف قطر الدائرة)2، بتعويض قيمة المساحة في المعادلة:
25π = π * r2
25= r2
.r = √25 = 5 inch
بتعويض قيمة نصف القطر في معادلة المحيط:
المحيط للدائرة = 2 * π * نصف قطر الدائرة = 10π
والجواب بعد تعويض قيمة π هو  31.4 إنش.
بمقارنة القيميتين نجد أن محيط تلك الدائرة أكبر من محيط المربع.

في الشكل التالي دائرة مركزها O، هو أيضا مركز لمربع ABCD تلامس اضلاعه الأربعة محيط الدائرة، فإذا ما علمنا أن مساحة هذا المربع 576 إنش^2، المطلوب حساب محيط الدائرة.


مساحة المربع = (طول الضلع)2
طول الضلع= 576√= 24 إنش، فيكون نصف قطر الدائرة التي مركزها O يساوي نصف طول ضلع المربع وبالتالي نصف قطر الدائرة = 12.
بتعويض قيمة نصف القطر في معادلة المحيط للدائرة:
محيط الدائرة = 2 * π * نصف قطر الدائرة
ويكون محيطها مساوٍ 24π إنش.

بفرض لدينا دائرة كبيرة مساحتها 121π إنش^2، المطلوب حساب محيط نصف دائرة مغلق، حيث نصف قطر تلك الدائرة = ½ نصف قطر الدائرة الكبيرة.

المساحة للدائرة الكبيرة = π * (نصف قطر الدائرة)2 أي 121π= π * r2
r2= 121 ومنه r= √121= 11 inch.
نصف قطر الدائرة الثانية = ½ نصف قطر الدائرة الأولى
أي أن قطر الدائرة الثانية= نصف قطر الأولى. الخطوة التالية تكون بحساب المحيط للدائرة الثانية.
قانون المحيط للدائرة = π * قطر الدائرة
إذن يكون المحيط للدائرة = 11π إنش.
محيط نصف الدائرة هذه = نصف محيط الدائرة + طول قطرها.
محيط نصف الدائرة= 5.5π + 11 إنش. 

نتمنى أن تكون قد استفدت من الأمثلة السابقة، فبالرغم من أنها شاملةٌ تقريبًا، إلا أن مداخل ومخارج علم الهندسة في الرياضيات، يتيح لنا إعطاء ملايين الأمثلة بالاعتماد على ملايين الأشكال الهندسية المتداخلة.§§§.

224 مشاهدة