القوى والاسس في الرياضيات مع خواصها وتطبيقات عملية

الموسوعة » رياضيات » القوى والاسس في الرياضيات مع خواصها وتطبيقات عملية

القوى والاسس في علم الرياضيات ليست مصطلحًا عاديًّا فقط، إنما هي عمليةٌ حسابيةٌ تتضمن رقمين هما الأساس (القاعدة) والأس (القوة)، حيث أن الأس هو عبارةٌ عن اختصارٍ رياضيٍّ يمثل عدد المرات التي يجب ضرب الرقم (الأساس) بنفسه فيها، على سبيل المثال لدينا العملية التالية:

2*2*2*2*2، ويمكن اختصار هذه العملية بالشكل 25

في المثال السابق، العدد 2 هو الأساس والرقم 5 هو الأس والذي يكتب كما لاحظنا بشكلٍ مرتفعٍ قليلًا عن الرقم الأساسي وبحجمٍ أصغر، ولكن من الممكن أن يكتب أيضًا بالشكل (2^5)، ويقرأ هذا الأس على أنه “اثنان أس خمسة” أو “اثنان مرفوعة للأس خمسة أو للقوة خمسة”.

هناك حالتان خاصتان يكون فيهما الأس لغة بديلة وهما:

  • مساحة المربع: حيث يشار إليها بالشكل b^2 أو b2، حيث b طول أحد أضلاع المربع، وذلك لأن مساحة المربع هي جداء طولي الضلعين (b*b).
  • حجم المكعب: هو جداء الطول في العرض في الارتفاع، وهم متساوون في القيمة (أوجه المكعب مربعات متساوية)، أي (x*x*x) لذلك يختصر بالشكل x^3 أو x3.

تستخدم الأسس في العديد من المجالات منها الكيمياء والفيزياء والاقتصاد وعلوم الكمبيوتر والبيولوجيا، حيث لها تطبيقاتٌ عمليةٌ كثيرةٌ مثل حساب الفائدة المركبة، ويدخل في الكثير من العمليات كحساب النمو السكاني والتفاعلات الكيميائية والسلوك الموجي والتشفير.§.

خواص القوى والاسس

هناك العديد من القواعد التي عليك معرفتها عند قيامك بعملياتٍ تخص القوى والاسس وهي:

  • ضرب الأسس: عند القيام بعملية ضربٍ لأسين لهما نفس الأساس، فإن الناتج يكون عملية رفع الأساس لمجموع هذين الأسين أي:
القوى والاسس
  • قِسمة الأسس: عند قسمة أسين لهما نفس الأساس، فإننا نطرح الأسين من بعضهما وطبعًا لنفس الأساس، أي:
  • الأس السالب: في حال كان عدد ما (الأساس) مرفوع لأس (قوة) سالب، فإنه يساوي مقلوب هذا العدد مرفوع لنفس الأس، ولكن بإشارة أسٍ موجبة، أي:
القوى والاسس
  • رفع القوة (الأس) إلى قوة أخرى: عندما يكون الأساس مرفوعًا إلى قوةٍ ما داخل قوس، ونرفع القوس إلى قوةٍ أخرى مثلًا، فإنّ الناتج يكون برفع الأساس لقوةٍ وحيدةٍ تساوي حاصل ضرب القوتين معًا؛ أي أن:
  • رفع عملية الضرب لقوة ما: في حال كان لدينا عملية ضرب ضمن أقواس، ورفعنا القوس لقوةٍ ما، فإن ناتج العملية يساوي حاصل ضرب كل عددٍ من الأعداد التي تشملها عملية الضرب، عندما يكون كلٌ منها مرفوعًا لهذه القوة؛ (نفرّق الأعداد الموجودة داخل القوسين كلٍ منها على حدى)، أي:
القوى والاسس
  • رفع عملية القسمة لقوة ما: في حال كان لدينا عملية قسمةٍ لعددين داخل قوس مرفوع لقوةٍ ما، يمكننا توزيع القوة المرفوعة لناتج عملية قسمة على الأعداد التي تشملها العملية؛ أي:
  • الجذر هو عملية معاكسة لعملية رفع العدد لقوة:
القوى والاسس
  • عندما يكون الأس عبارةً عن كسر، فإنه من الممكن أن نحوله إلى جذر، لنفكر أولًا بعملية الكسر الذي بسطه مساوٍ للواحد، أي:

وفي حال كان البسط عدد غير الواحد يصبح الجذر بالشكل:§ §

القوى والاسس

ماذا يحصل في حال كان الأس 1 أو 0

  • إذا كان عددٌ ما مرفوع للأس 1، فإن الناتج هو الرقم نفسه، أي x1=x، كمثال: 91=9.
  • إذا كان عددٌ ما مرفوع للأس 0 فإن الناتج يساوي القيمة 1، مهما كان هذا العدد، أي x0=1، كمثال: 90=1، ولكن في حال كان هذا العدد المرفوع للأس صفر هو الصفر نفسه، فإن الناتج من الممكن أن يكون 1 أو 0 لذلك يقول الناس أنه “غير محدد”.
  • يجب معرفة أيضًا أن العدد 1 في حال كان هو الأساس، فإنه مهما كان الأس فإن الجواب هو 1، أي: 1a=1 مهما كانت قيمة a.§.

تطبيقات عملية

سأذكر لك فيما يلي بعض العمليات الحسابية التي تخص القوى والاسس:§.

إذا كانت قيمة 3x=27 ما هي قيمة x؟

نعلم أن3*9=27 ← 3*3*3=27 ← 33=27 أي x=3.

إذا كان لدينا a2 = 35 وb2 = 52، احسب قيمة ما يلي a4 + b6.

الحل: لدينا a4=a2*a2 و b6=b2*b2*b2 أي:
a4 + b6 = 35*35+52*52*52 = 1225+140608 = 141833 

أوجد قيمة x فيما يلي: 2x+1 +23= 72.

إن 23=8 أي أن: 2x+1=72-8=64 ونعلم أن 26=64 وبالتالي x=6-1=5.

أوجد قيمة العملية التالية 210/28.

210/28 = 22 = 4.

أوجد قيمة مايلي 262.

.23=26/2 =262

أوجد حل العملية التالية: (x2*x1/2).

.x2*x1/2 = x4/2*x1/2 = x5/2

أوجد قيمة المعادلة التالية: 2×57 ÷ 6×59

2×57 ÷ 6×59، بطرح الأسس ذات الأساس الواحد، يصبح لدينا 6/2 × 52 ومنه 52× 3 = 75.