إذا أخذنا ورقة وقمنا بطيها عدد من المرات، هل يمكننا حساب ارتفاع الورقة بعد طيها لخمس أو ست مرات مثلاً؟ بالتأكيد يمكن ذلك من خلال استخدام قواعد المتتالية الهندسية ، لكن ما هي هذه المتتاليات؟ هذا ما سنقوم بدراسته بالتفصيل في مقالنا التالي، لكن لنقم بدايةً بالتعرف على المتتاليات الرياضية بشكل عام.

المتتاليات

تُعرف المتتاليات في الرياضيات على انها عبارة عن مجموعة من الأرقام أو الأحداث المرتبة وفق تسلسل معين اعتماداً على بعض القواعد الأساسية، فإذا كان لدينا المحارف a1 وa2 وa3 تدل على حدود المتتالية فإن الأرقام 1 و2 و3 تدل على دليل الحد أي موضع الحد ضمن المتتالية، بناءً على عدد حدود المتتالية يمكن تحديد إن كانت هذه المتتالية محدودة (لها عدد حدود معين) أو غير محدودة (تملك عدد غير نهائي من الحدود).

المتتالية الهندسية

نقول عن متتالية أنها متتالية هندسية عندما نحصل على حدودها من خلال ضرب أو قسمة الحد الأول بقيمة ثابتة لنحصل على الحد الثاني وهكذا تعاد الكّرة في كل مرة حتى نصل إلى نهاية المتتالية، تسمى القيمة الثابتة التي يتم الضرب بها بالنسبة أو العامل المشترك ويرمز لها بالرمز r.

يجب أن يكون الحد الأول في المتتالية الهندسية غير صفري حتماً لأن عكس ذلك يعني أن جميع حدود المتتالية متساوية وصفرية وهذا ما يخالف الشرط الأساسي لكونها متتالية هندسية وهو أن كل حد يساوي الحد الذي يسبقه مضروباً أو مقسوماً على النسبة المشتركة r.

على سبيل المثال تشكل سلسلة الأرقام 1، 2، 4، 8، 16، 32 متتالية هندسية حيث نتج كل رقم عن الرقم السابق له بضربه بـ 2 أي أن النسبة المشتركة هي r = 2، لكن كيف علمنا قيمة r؟

الحد الأول في المتتالية هو a1=1 والحد الثاني هو a2=2 إذا قسمنا a2 على a1 نحصل على:

وإذا أوجدنا نسبة a3 على a2 نلاحظ أنها:

وكذلك:

بالتالي نستنتج أن:

حيث:

  • an-1: يمثل الحد قبل الحد الأخير من المتتالية.
  • an: يمثل الحد الأخير من المتتالية.

أي أن نسبة أي حدين على التوالي من هذا المتتالية هي قيمة ثابتة.

الصيغة العامة لـ المتتالية الهندسية

يمكن إيجاد الصيغة العامة للمتتالية الهندسية من خلال ملاحظة أن كل حد من حدود المتتالية ينتج عن الحد الأول وفق ما يلي:

A1= a1

A2 =a1 × r

A3= a2 × r =( a1× r) × r= a1× r2

A4 = a3× r = (a1× r2) × r =a1× r3

بالتالي نستنتج أن:1

an= a1× rn-1

مجموع حدود المتتالية الهندسية

يمكن إيجاد مجموع حدود متتالية هندسية بسهولة من خلال استخدام الصيغ التالية:

  • إذا كان عدد حدود المتتالية الهندسية معلوم (n حد) نستخدم الصيغة التالية:
  • إذا كان المتتالية ذات عدد لا نهائي من الحدود نستخدم الصيغة التالية:

حيث ان:

  • Sn: مجموع المتتالية عند عدد حدود n.
  • S: مجموع المتتالية الغير محدودة.
  • n: عدد الحدود.2

خصائص المتتالية الهندسية

  • إذا كان لدينا متتالية هندسية وقمنا بضرب أو قسمة كل عنصر من عناصرها بعدد معين غير صفري فإن المتتالية الناتجة هي متتالية هندسية أيضاً.
  • إذا كان لدينا متتالية هندسية أولى …..,a1,a2,a3,a4 ومتتالية هندسية ثانية ….,b1,b2,b3,b4 فإن المتتالية الناتجة من ضرب كل عنصر من عناصر المتتالية الأولى بالعنصر المقابل له من المتتالية الثانية هي متتاليية هندسية أيضاً.
  • إذا كان لدينا ثلاث أعداد a,b,c من متتالية هندسية فإن b2=a×c3

أنواع أخرى من المتتاليات

يوجد الكثير من الأنواع للمتتاليات الرياضية أهمها:

  • المتتالية الحسابية: نقول عن متتالية أنها حسابية عندما يتم الحصول عليها من خلال إضافة أو طرح رقم معين من الرقم الذي يسبقه.
  • المتتالية التوافقية: نقول عن متتالية أنها توافقية إذا كان مقلوب جميع عناصرها (حدودها) هو عبارة عن متتالية حسابية.
  • متتالية فيبوناتشي أو أعداد فيبوناتشي: يتم الحصول على كل حد من حدود متتالية فيبوناتشي من خلال إضافة الحدين السابقين له، يتم في البداية استخدام الرقمين 0 و1 بحيث يكون F0 = 0 و F1 = 1 بالتالي يتم التعبير عن متتالية فيبوناتشي بالشكل:4

Fn = Fn-1 + Fn-2

المراجع