تريند 🔥

🤖 AI
الفرق بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية

الفرق بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية

فادي مشكاف
فادي مشكاف

تم التدقيق بواسطة: فريق أراجيك

6 د

الفرق بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية.. كثيرًا ما يوجّه الانتقاد إلى علم الرياضيات بأنّه علمٌ جافٌ لا يتضمّن في جنباته شيئًا من الملاحظة والتجربة والاستقراء، كما تُفهم هذه التعابير في العلوم الطبيعيّة، ولكن من المؤكّد أنّ جهود الباحثين الذين عملوا وما زالوا يعملون في مجال الرياضيات، تتضمّن الكثير من الملاحظة والاستقراء، فعلم الرياضيات أحد أمتع أنواع العلوم وأكثرها تفرعًا وتشعبًا. ينقسم علم الرياضيات إلى فروعٍ عديدةٍ ولعلّ أشهرها علم الجبر، وانطلاقًا من علم الجبر الرياضي، سنتابع مقالنا بالحديث عن المتتاليات؛ حيث سنتعرف الآن على المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية والاختلافات ما بين هذين النوعين من المتتاليات.

قبل أن نبدأ في شرح المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية يجب أن تعرف أن علم الرياضيات بحد ذاته، يشكّل لبنة البناء الأساسيّة لكل ما يدور في حياتنا اليوميّة، كما يرتبط ارتباطًا وثيقًا بكل ما نراه من حولنا تقريبًا مثل الأجهزة المحمولة والهواتف الذكيّة، والأبنيّة والمنشآت الهندسية، أي يقتصر على القيام ببعض العمليات الحسابية البسيطة كالجمع والطرح فقط؛ بل يمتدّ إلى أبعد من ذلك بكثيرٍ، لدخوله في جميع أنواع الفنون كالموسيقا والرسم، بالإضافة إلى صلته الوثيقة بأسواق المال العالميّة..


الفرق بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية: تعريف المتتالية

المتتالية أو كما تُعرف أيضًا باسم المتوالية، هي مفهوم يشير إلى مجموعةٍ من العناصر المُرتّبة بشكلٍ محدّدٍ ومتسلسلٍ، وهذا الترتيب منظّمٌ وليس عشوائيًّا، إذ تربط ما بين عناصر المتتالية، والتي تُدعى حدود المتتالية، علاقة رياضيّة بحيث ينتج كل حدٍّ من حدودها بعد تطبيق هذه العلاقة، التي تُدعى صيغة الحد العام للمتتالية. قد تكون المتتاليات محدودةً؛ أي تضم عددًا معلومًا من الحدود، أو قد تكون لا نهائيّة الحدود.

وعادةً ما يُستخدم حرف لاتينيّ كبير للدلالة على اسم المتتالية، "S" على سبيل المثال، بينما تُسمّى حدود المتتالية باستخدام الصيغة "ai" أو "an" حيث يشير الحرف الفرعي الدلالي إلى رقم الحد.

كتعريفٍ رياضيٍّ بحت؛ يمكن القول إنّ المتتالية هي تابعٌ، مجموعة تعريفه هي مجموعة الأعداد الطبيعيّة N، أو أية مجموعةٍ جزئيّةٍ غير منتهية منها من النمط { ....n0, n0+ 1, n0+ 2}، حيث n0 هو عددٌ طبيعيٌّ مُعطى ويختلف من متتاليةٍ إلى أخرى، ومُستقرّها هو مجموعة الأعداد الحقيقيّة {R}، والتي تُمثّل مجموعة عناصر المتتالية.

نرمز للمتتالية بالرمز un)n≥0) حيث ندعو un حد المتتالية ذا الدليل n، حيث يُعرّف هذا الحد بصيغة تتبع للعدد n وتفيد في حسابه مثل (un=f(n، وهو تابعٌ معرّف على ]∞+,0] كما يُمكن تعريف المتتالية بالتدريج؛ وذلك عن طريق حساب الحد ذي الدليل n بدلالة الحدود السابقة له. وعلى وجه العموم، يمكننا تعريف المتتالية un)n≥0) إذا كان f تابعًا معرّفًا على مجموعة تعريف D ويحقّق الشرط؛ مهما يكن العدد x من مجموعة التعريف D يكن (f(x عنصرًا ينتمي إلى D أيضًا..


الفرق بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية: أنواع المتتاليات

لا يوجد نوع واحد المتتاليات الرياضية إذ أنها متعددة وهذه أشهر أنواعها 

1- المتتالية الحسابية: هي متتالية من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتاً على سبيل المثال فإن 3، 5، 7، 9، 11، 13 هي متتالية حسابية لها أساس يساوي 2 أي أنّ 3، 5، 7 هي حدود من هذه المتتالية والأساس 2 هو العدد المضاف بين كل حدّين متتاليين.

2- المتتالية الهندسية: هي متتالية عددية كل حد من حدودها بعد الأول يُحصل عليه بضرب الحد الذي قبله في عدد ثابت غير منعدم يدعى قدر النسبة

3- متتالية كوشي: هي متتالية عناصرها تقترب من بعضها البعض عندما يكبر حد هذه المتتالية وهي من المواضيع المهمة في مجال التحليل وتستخدم من أجل تحديد تمام فضاء ما من عدمه سميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الفرنسي أوغستين لوي كوشي


خصائص المتتالية الحسابية

إن للمتتالية الحسابية خصائص مميزة جداً وهذه أبرزها 

1- عند إضافة نفس العدد أو طرحه من كل عنصر في المتتالية الحسابية فإنّ العناصر الناتجة ستكوّن أيضاً متتالية حسابية جديدة.

2- إذا تم ضرب العناصر المكونة للمتتالية الحسابية أو قسمتها على نفس العدد غير الصفر فإنّ العناصر الناتجة تكوّن أيضاً متتالية حسابية جديدة

3- عند اختيار عناصر من فترة معينة منتظمة من متتالية حسابية، فإن هذه العناصر ستشكل متتالية حسابية أيضاً.


خصائص المتتالية الهندسية

أما المتتالية الهندسية فإن لها خصائصها الفريدة أيضاً وهي 

1- إذا كان لدينا متتالية هندسية وقمنا بضرب أو قسمة كل عنصر من عناصرها بعدد معين غير الصفر فإن المتتالية الناتجة هي متتالية هندسية أيضاً.

2- إذا كان لدينا متتالية هندسية أولى .,a1,a2,a3,a4 ومتتالية هندسية ثانية..,b1,b2,b3,b4 فإن المتتالية الناتجة من ضرب كل عنصر من عناصر المتتالية الأولى بالعنصر المقابل له من المتتالية الثانية هي متتالية هندسية أيضاً.


أشهر أنواع المتتاليات

توجد أنواعٌ متعدّدةٌ للمتتاليات، ولكن تشمل أشهر أنواعها ما يلي:

  • المتتالية الحسابية (Arithmetic Sequences).
  • المتتالية الهندسية (Geometric Sequences).
  • المتتالية التوافقيّة (Harmonic Sequences).
  • متتالية فيبوناتشي (Fibonacci Numbers).

المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية


المتتالية الحسابية

تُعتبر المتتالية الحسابية من أبسط أنواع المتتاليات وأكثرها شهرةً، ويمكن القول عن متتالية إنّها متتاليةٌ حسابيةٌ إذا كان كل حدٍّ من حدودها ينتج عن جمع أو طرح رقمٍ ثابتٍ إلى الحد الذي يسبقه، فعلى سبيل المثال، لتكن لدينا مجموعة الأرقام التالية: (10، 13، 16، 19، 22، 25، 28) نقول عن هذه المجموعة إنّها متتاليةٌ حسابيّةٌ لأن كل حدٍّ من حدودها ينتج عن طريق إضافة العدد 3 إلى الحد السابق له..


قوانين المتتالية الحسابية

يوجد لكل نوعٍ من أنواع المتتاليات قوانين حساب خاصة بها، وتشمل أبرز قوانين المتتالية الحسابية ما يلي:

  • الصيغة العامة: بما أنّ المتتالية الحسابية تنتج عن جمع أو طرح رقم ثابت إلى كل حدٍّ من حدودها، فيمكن تفسيرها رياضيًّا بالشكل التالي: a, a+d, a+2d, a+3d.
  • الحد العام: يُعطى الحد العام بالشكل: an= am + (n-m)*d.

حيث أنّ:

  • an: الحد ذو الترتيب n.
  • am: الحد ذو الترتيب m السابق للحد n.
  • d: أساس المتتالية.
  • أساس المتتالية: d = a2 – a1.
  • مجموع حدود المتتالية: [Sn = n/2[2a1 + (n-1)d.

المتتالية الهندسية

نقول عن متتاليةٍ أنّها متتاليةٌ هندسيّةٌ إذا كان لدينا مجموعة أعداد (حدود) طبيعيّة بحيث أنّ كل حدٍّ منها ينتج عن الحد السابق عن طريق ضربه أو قسمته على عددٍ حقيقيٍّ ثابتٍ، ويُعرف العدد الثابت باسم أساس المتتالية. على سبيل المثال، لتكن لدينا مجموعة الأعداد التالية: (2، 6، 18، 54، 162) نقول أنّ هذه الأعداد تشكّل متتاليةً هندسيّةً أساسها 3، حيث ينتج كل حدٍّ عن ضرب الحد الذي يسبقه بالأساس 3.


قوانين المتتالية الهندسية

  • الصياغة العامة: ..., a, ar, ar2, ar3, ar4.
  • الحد العام: an=arn−1.

حيث أنّ:

  • an: الحد ذو الترتيب n.
  • r: أساس المتتالية.
  • أساس المتتالية: r = an/an-1.
  • مجموع حدود المتتالية: (sn = a(1-rn)/(1-r.

الفروق الأساسيّة بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية

  • الفرق الرئيسي والواضح بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية هو أن المتتالية الحسابية تنتج عن طريق جمع أو طرح عددٍ ثابتٍ إلى الحد الذي يسبقه، بينما في المتتالية الهندسية ينتج كل حدٍّ عن طريق ضرب أو قسمة الحد الذي يسبقه بعددٍ ثابتٍ.
  • في المتتالية الحسابية يكون التغيّر بين الحدود تغيّرًا خطيًّا، أمّا بالنسبة للمتتالية الهندسية فيكون التغيّر بين الحدود أُسيًّا.
  • في المتتالية الحسابية يكون مسار التغيّر بين الحدود في اتجاهٍ واحدٍ، أي أنّ حدود المتتالية إما أن تكون متزايدةً أو متناقصةً، بينما في المتتالية الهندسية لا يوجد اتجاهٌ محدّدٌ لتغيّر قيم حدود المتتالية، حيث يمكن أن نجد قيم الحدود تتناقص وتتزايد بشكلٍ متبادلٍ. يمكن توضيح هذا الفرق بين المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية بشكلٍ أكبر من خلال الرسوم البيانية.

هل أعجبك المقال؟