حجم المنشور الرباعي (مع أمثلة مشروحة)

الموسوعة » رياضيات » حجم المنشور الرباعي (مع أمثلة مشروحة)

قبل أن نبدأ بقانون حجم المنشور الرباعي مع بعض الأمثلة المشروحة، لا بد بدايةً من أن نشرح قليلًا عن المنشور وأنواعه. المنشور (Prism)، شكل ثلاثي الأبعاد، يحتوي على قاعدتين متطابقتين ومتوازيتين، تحيط بها أوجه جانبية، يختلف عددها باختلاف عدد أضلاع قاعدته.

للمنشور نوعان، المنشور المنتظم وهو منشورٌ قاعدتاه مضلعان منتظمان، والمنشور غير المنتظم، بقاعدتين على شكل مضلعٍ غير منتظمٍ، كما تتسم كافة الأسطح في المنشور، سواء الجانبية منها أو القاعدتين، بكونها أسطح مستوية، ونتيجةً لذلك، فمن غير الممكن اعتبار أي شكلٍ كرويٍّ أنه منشورٌ. يصنف المنشور أيضًا إلى عددٍ من الأنواع بحسب عدد أضلاع قاعدته:

  • منشور ثلاثي: عدد أضلاع قاعدته ثلاثة.
  • منشور رباعي: عدد أضلاع قاعدته أربعة.
  • منشور خماسي: عدد أضلاع قاعدته خمسة، وهكذا…

يمكن تقسيم المنشور إلى نوعين أيضًا وفقًا للزاوية التي يلتقي عندها الحرف الجانبي للمنشور، مع أحد أحرف قاعدته:

  • المنشور القائم (Right Prism): وهو منشورٌ تتعامد أسطحه الجانبية مع قاعدتيه، ويتخذ كل سطحٍ جانبيٍّ له، شكل مستطيل.
  • المنشور المنحني أو المائل (Oblique Prism): منشورٌ تلتقي أسطحه الجانبيية مع قاعدتيه بزوايا ليست قائمةً، يكون كل سطحٍ جانبيٍّ في المنشور المنحني على شكل متوازي أضلاع.

قانون حساب حجم المنشور الرباعي

يعتمد حساب حجم المنشور بشكلٍ عام على قانونٍ واحدٍ، مهما اختلف عدد أضلاع قاعدته، أو في حال ما كان منشورًا قائمًا أو مائلًا، منتظمًا أو غير منتظمٍ، فيمكن تمثيل حجم المنشور بالعلاقة التالية:

حجم المنشور = مساحة قاعدته * الإرتفاع

حيث الارتفاع هو البعد بين القاعدتين المتقابلتين في المنشور القائم (الرباعي في حالتنا هذه).§ §.

ملاحظات هامة

  • من أشهر أشكال المنشور الرباعي متوازي المستطيلات والمكعب، فمتوازي المستطيلات ما هو إلا منشور رباعي قائم، ثلاثي الأبعاد، قاعدتاه على شكل مستطيلٍ، له ستة وجوهٍ كلها مستطيلات، وفي حال تساوي الأبعاد الثلاث في متوازي المستطيلات يتحول الشكل إلى مكعبٍ.
  • قانونٌ مهمٌ يستخدم كثيرًا في حل مسائلَ يطلب فيها حساب حجم المنشور هو قانون مساحة سطح المنشور، والذي يساوي مجموع مساحتي القاعدتين، مضافًا إليها مساحة الأوجه الجانبية للمنشور، أو بطريقةٍ أُخرى يمكن حساب مساحة سطح المنشور بالعلاقة التالية: مساحة سطح المنشور = مساحة القاعدتين + محيط القاعدة * ارتفاع المنشور.
  • مساحة المستطيل = الطول * العرض.
  • مساحة المربع = طول الضلع2.
  • مساحة شبه المنحرف = 1/2 * الارتفاع * (مجموع القاعدتين العلوية والسفلية).§ § §.

أمثلة محلولة لحساب حجم المنشور الرباعي

احسب حجم منشور رباعي قاعدته على شكل مستطيل، أطوال ضلعيه 6 سم و8 سم، وارتفاعه 4 سم، ثم قم بإيجاد مساحة سطحه الكلية.

حجم المنشور الرباعي = مساحة القاعدة * ارتفاع المنشور
مساحة القاعدة المستطيلة = الطول * العرض
مساحة القاعدة المستطيلة = 6 * 8 = 48 سم2
فيصبح حجم المنشور الرباعي = 48 * 4 = 192 سم3.
مساحة المنشور الرباعي= مساحة القاعدتين + مساحة الوجوه الجانبية.
مساحة القاعدة = الطول * العرض= 48 سم2.
الوجوه الجانبية عبارةً عن أربعة وجوهٍ، كل اثنانٍ منها متطابقان، فيكفي حساب اثنين منها المختلفان فيما بينهما، ثم ضرب المساحة الناتجة باثنين لكلٍ منهما.
مساحة الوجه الجانبي الأول = الطول * العرض = 4 * 6 = 24 سم2
مساحة الوجه الجانبي الثاني= الطول * العرض = 8 * 4 = 32 سم2
بذلك تكون المساحة الجانبية = 2 (24) +2 (32)
المساحة الجانبية الكلية = 112 سم2.
المساحة الكلية للمنشور الرباعي = 112 + 2 * 48
المساحة الكلية للمنشور الرباعي = 208 سم2

المطلوب حساب حجم منشور رباعي، قاعدته على شكل مستطيل، بحيث: طول ضلعي قاعدتيه 7 و9 سم، وارتفاع المنشور 13 سم.

حجم المنشور الرباعي = مساحة القاعدة * الارتفاع
مساحة القاعدة = الطول * العرض = 9 * 7= 63 سم2
ومنه حجم المنشور الرباعي = 63 * 13= 819 سم3.

في الشكل التالي منشور رباعي، قاعدته على شكل شبه منحرف، طول ضلعي قاعدته 6 أقدام، و4 أقدام، أما الارتفاع فيبلغ 9 أقدام، والمطلوب حساب حجم المنشور الرباعي.


حجم المنشور الرباعي = مساحة إحدى قاعدتيه * الارتفاع
مساحة قاعدة المنشور= ½ * ارتفاع شبه المنحرف * (طول القاعدة الأولى + طول القاعدة الثاني).
مساحة قاعدة المنشور= ½ * 4 * (6+4)
مساحة قاعدة المنشور = 20 قدم2.
حجم المنشور الرباعي = 20 * 9 = 180 قدم3.

في الشكل حوضان لسمك الزينة على شكل منشورين رباعيين، متصلان ببعضهما بوصلةٍ صغيرةٍ على شكل منشورٍ رباعيٍّ كذلك، باستخدام الأطوال الموجودة ضمن الصورة، المطلوب إيجاد الحجم الكلي للحوضين.


بالنظر إلى القياسات نلاحظ أن الحوضين متطابقان تمامًا، وقياساتهما واحدة، فيكفي عندها حساب حجم حوضٍ واحدٍ، ثم  ضرب الناتج الذي سيظهر باثنين، ثم إضافة النتيجة إلى حجم القطعة الواصلة بينهما ليظهر الحجم الكلي.
حجم الحوض = مساحة القاعدة * الارتفاع
مساحة القاعدة = الطول * العرض = 3 * 4= 12 قدم2
حجم الحوض = 12 * 3 = 36 قدم3.
حجم الحوضين = 2 * 36 = 72 قدم3.
حجم القطعة الواصلة = مساحة القاعدة * الارتفاع
مساحة القاعدة = الطول * العرض= 2 * 1= 2 قدم2
حجم القطعة الواصلة = 2 * 1= 2 قدم3.
بذلك يكون الحجم الكلي للشكل = 72 + 2= 74 قدم3.

20٬072 مشاهدة