مساحة متوازي المستطيلات (مع أمثلة مشروحة)

الموسوعة » رياضيات » مساحة متوازي المستطيلات (مع أمثلة مشروحة)

قبل الحديث عن مساحة متوازي المستطيلات (سواءً الكلية أو الجانبيّة) لا بدّ من التعريف بهذا المجسّم الهندسي المميّز والشائع جدًّا في حياتنا اليوميّة والدراسيّة في الرياضيات والفيزياء بالخصوص.

يمكن تعريف متوازي المستطيلات على أنه شكلٌ هندسيٌّ ثلاثي الأبعاد، جميع زواياه قائمة، ويتألف من ستة مستطيلاتٍ، كل مستطيلين متقابلين منها، متوازيان ومتطابقان فيما بينهما. يمكن أن نطلق مصطلح قاعدة على أيٍّ من أوجه متوازي المستطيلات الستة، عندئذٍ يطلق على الأوجه الأربعة التي تتشارك مع القاعدة بحوافٍ مشتركةٍ مصطلح الأوجه الجانبية لمتوازي المستطيلات.

خصائص متوازي المستطيلات

  • كافة الزوايا في أي متوازي مستطيلاتٍ قائمة.
  • لمتوازي المستطيلات ستة أوجهٍ، كلٌ منها عبارةٌ عن مستطيلٍ.
  • لمتوازي المستطيلات ثلاثة أبعاد، العرض (Width) ويرمز له كذلك w، الطول (Length) ويرمز له l، والارتفاع (Depth أو Height) ويرمز له h.
  • لمتوازي المستطيلات اثنا عشر حرفًا، والحرف هو الخط الفاصل بين وجهين متجاورين.
  • لمتوازي المستطيلات كذلك ثماني رؤوس، والرأس هي نقطة تلاقي ثلاث حوافٍ في متوازي المستطيلات.

مساحة متوازي المستطيلات

مساحة متوازي المستطيلات الكلية = مجموع مساحات أوجهه الستة.

من تعريف متوازي المستطيلات استنتجنا أن كل وجهين متقابلين متوازيان ومتطابقان، أي يكفي معرفة مساحة ثلاثة أوجهٍ مختلفةٍ من الأوجه الستة، ثم مضاعفة مساحة كل من تلك الأوجه لإيجاد المساحة الكلية. إنّ كل وجه للشكل الهندسي عبارةٌ عن مستطيلٍ، فبالتالي مساحة كل وجهٍ تساوي حاصل جداء ضلعي زاويةٍ قائمةٍ فيه، وبتعويض كل ما سبق سنحصل على المعادلة التالية:

مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2(العرض×الارتفاع) + 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع)

تقاس المساحة دائمًا بوحدة قياسٍ مربعةٍ، أي مرفوعةٍ للأس 2.§.

قوانين أُخرى مفيدة

  • المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = 2×الارتفاع(العرض + الطول).
  • حجم متوازي المستطيلات = الطول×العرض×الارتفاع.
  • قطر متوازي المستطيلات هو الخط المستقيم الواصل بين رأسين في متوازي المستطيلات لا يشتركان بأي حرفٍ، ويساوي الجذر التربيعي لمجوع مربع الطول ومربع العرض ومربع الارتفاع.§ § § §.

بعض الأمثلة في حساب مساحة متوازي المستطيلات

حساب مساحة متوازي مستطيلات أطوال أضلاعه 8 سم، و6سم، و5سم.

مساحة متوازي المستطيلات = مجموع مساحة أوجهه الستة.
= 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع) + 2(العرض×الارتفاع).
= 2(8×6) + 2(8×5) + 2(6×5)
= 2(48+40+30) = 236 سم2.

حساب المساحة الكلية لمتوازي مستطيلات أطوال أضلاعه 4.8 سم، 3.4 سم،7.2 سم.

مساحة السطح الأول = الطول×العرض= 4.8×7.2 = 34.56 سم2.
مساحة السطح الثاني= العرض×الارتفاع = 4.8×3.4 = 16.32 سم2.
مساحة السطح الثالث = الطول×الارتفاع = 7.2×3.4 = 24.48 سم2.
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = 2( مساحة السطح الأول + مساحة السطح الثاني + مساحة السطح الثالث)
= 2(34.56 + 16.32 + 24.48) = 75.36 = 150.72 سم2.

إيجاد المساحة الجانبية لمتوازي مستطيلات، طول ضلع قاعدته 10 سم، وعرضها 8 سم، وارتفاعه 7 سم، ثم إيجاد مساحته الكلية.

المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات = 2(الطول×الارتفاع + العرض×الارتفاع) = 2×الارتفاع(الطول + العرض)
= 2×7(10+8) = 252 سم2.
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات = المساحة الجانبية + 2×مساحة قاعدته
= 252 + 2(10×8)
= 412 سم2.

حساب مساحة صندوق هدايا على شكل متوازي مستطيلات أطوال أبعاده الثلاث: الطول 40 سم، والعرض 31 سم، والارتفاع 12 سم.

مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2(العرض×الارتفاع) + 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع)
= 2(31×12) + 2(31×40) + 2(40×12)
= 2×372 + 2×1240 + 2×480 = 4184 سم2.

متوازي مستطيلات، أبعاده 5 سم، 4 سم، 3 سم. المطلوب حساب مساحة متوازي المستطيلات، وحجمه، وطول قطره.

مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2(العرض×الارتفاع) + 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع)
= 2 (4×3) + 2 (4×5) + 2 (5×3)
= 24+40+30=94 سم2.
حجم متوازي المستطيلات = الطول×العرض×الارتفاع.
= 5×4×3= 60 سم3.
طول قطر متوازي المستطيلات = الجذر التربيعي ل( مربع الطول + مربع العرض + مربع الارتفاع).
= (5^2 + 4^2 + 3^2)√ .
= 50√ = 5√2.

متوازي مستطيلات طوله 8 سم، وعرضه 6 سم، وحجمه 192 سم مكعب، والمطلوب حساب ارتفاع متوازي المستطيلات ومساحته الكلية والجانبية.

من القوانين السابقة نجد أنّ حجم متوازي المستطيلات = الطول×العرض×الارتفاع.
بالتعويض فيما لدينا: 192= 8×6×الارتفاع.
الارتفاع = 192÷8×6 = 192÷48= 4 سم.
مساحة متوازي المستطيلات الكلية = 2(العرض×الارتفاع) + 2(العرض×الطول) + 2(الطول×الارتفاع)
= 2(6×4) + 2(8×6) + 2(8×4).
= 2(24+48+32) = 208 سم2.
مساحة متوازي المستطيلات الجانبية = 2×الارتفاع(العرض + الطول).
= 2×4(6+8) =112 سم2.

حالة خاصة لمتوازي المستطيلات… المكعب

المكعب

المكعب هو متوازي مستطيلات، أبعاده الثلاث (الطول، والعرض، والارتفاع) متساوية، للمكعب صفاتٌ وخصائصُ تتطابق مع متوازي المستطيلات، من حيث الزوايا القائمة فيه، وعدد الأحرف المكونة له، وعدد الرؤوس، إلا أن بعض القوانين ستتغير نسبيًّا بسبب تطابق الأبعاد الثلاث، وتصبح التالي:§.

  • المساحة الكلية للمكعب = 6×مساحة أحد جوانبه؛ حيث مساحة أحد جوانبه = طول الضلع2.
  • المساحة الجانبية للمكعب = 4×مساحة أحد جوانبه.
  • حجم المكعب = طول الضلع3.
4٬464 مشاهدة