حساب محيط المستطيل مع أمثلة مشروحة

الرئيسية » موسوعة أراجيك » رياضيات » حساب محيط المستطيل مع أمثلة مشروحة

رغم بساطة الحسابات الهندسية، إلا أنها مهمة للغاية، فقد نستخدمها بأي مجال كان، وبالرغم من ورودها معنا في المراحل الدراسية كافة، إلا أن التذكير بها مهم جدًا. سنتطرّق اليوم لواحد من تلك الأمور الهندسية، وهو محيط المستطيل.

لكي نقول إن شكلًا ما مستطيل، يجب أن يحقق عدة شروط:

  • أن يكون مضلعًا رباعيًا مغلقًا.
  • كل ضلعَين متقابلَن متوازيان ومتساويان في الطول، أيّ ضلع القاعدة ومقابله متساويان في الطول، والجانبان الأيمن والأيسر متساويان في الطول، وهذا الذي يفرُّقه عن المربع الذي يطابق نفس المواصفات إلا أن كل الأضلاع متساوية.
  • قياس كل الزوايا الداخلية 90 درجة، ولا يمكن أن يكون متوازي الأضلاع والمعين مستطيلًا إلا عندما تكون زاويتهما الداخلية 90 درجة.§

خصائص المستطيل

الخصائص الأساسية للمستطيلات هي:

  • يساوي حاصل جمع الزوايا الداخلية 360 درجة.
  • الأقطار تنصِّف بعضها، وتتساوى بالطول.
  • تكون الزوايا في الأقطار المتناصفة، بعضها حاد والآخر منفرج الزاوية، وفي حال كانت كل الزوايا قائمة فإن الشكل يصبح مربعًا.
  • مستطيل بطول ضلعه a وb، فإن محيطه 2a + 2b، ومساحته a×b.
  • قطر المستطيل هو قطر الدائرة المارّة برؤوسه.
  • في حال كان لدينا كل من الطول a والعرض b، فيمكن التعبير عن القطر بالعلاقة a²+b²)√.
  • يمكننا الحصول على أسطوانة، عبر تدوير المستطيل وذلك عبر محورين:
    • محور موازٍ للطول، في هذه الحالة، يكون ارتفاع الأسطوانة مساويًا لعرض المستطيل، كما أن قطر الأسطوانة يعادل طول المستطيل.
    • محور موازي للعرض، يساوي ارتفاع الأسطوانة طول المستطيل. وبالمثل، فإن قطرها يعادل العرض.§

تعريف محيط الشكل الهندسي

يعرَّف المحيط على أنه الطول الكامل للمسار أو الحد الذي يحيط بالشكل، وقد اُشتقَت كلمة محيط (Perimeter) من كل من الكلمتين اليونانيتين Peri التي تعني حول، وMetron التي تعني القياس، وإذا كان الشكل مضلعًا فالمحيط هو مجموع أطوال الأضلاع.

لتقريب الفكرة، إذا أردت تسييج حديقة منزلك فأن السياج المطلوب يمثل محيط الحديقة، وتشمل الأمثلة الأخرى إيجاد الطول الإجمالي لحدود ملعب كرة القدم أو الشريط المطلوب لتغطية حدود مفرش الطاولة.§

حساب محيط المستطيل

محيط المستطيل يساوي مجموع أضلاعه. مع ذلك، ونظرًا لأن الأضلاع المتقابلة في المستطيل متطابقة، فإننا نحتاج فقط إلى معرفة الطول والعرض. كما ذكرنا آنفًا، يُحسب محيط أي شكل مضلع بجمع أطوال أضلاعه، ونظرًا لأن الأضلاع المتقابلة في المستطيل متساوية، فإننا نحتاج فقط لمعرفة الطول والعرض، ويكتب نص القانون على الشكل الآتي:

P = L + W + L + W

حيث P هو المحيط، وL طول المستطيل وW هو عرضه، لكن بدلاً من كتابة L وW مرتين ، يمكننا تبسيط المعادلة على النحو التالي:

P = 2L + 2W

  • مثال: إذا أردنا الوصول لقياس محيط مستطيل، يبلغ طوله 6 أمتار وعرضه 3 أمتار، كما ذكرنا يكفينا معرفة الطول والعرض فقط، ونعوض في القانون السابق

الحل، إذ، نعوض بـ 6 عن L و 3 عن W في المعادلة، ولدينا:

P = 2L + 2W

P = 2×(6) + 2×(3) = 18

إذن، محيط هذا المستطيل 18 م.

  • مثال: يريد مزارع أن يحيط حقله المستطيل بسياج من الأسلاك الشائكة يكلف 1.75 دولارًا للمتر، أبعاد الحقل هي600 متر مقابل 1200 متر، كم سيكلف السياج؟

الحل:

للوصل للتكلفة، علينا حساب محيط المستطيل الذي يشكّله، لذا أولًا علينا أن نعوض في علاقة المحيط:

2×(1200) + 2 (600)= P

= 3600 متر

ومن القيمة المُستنتجة أعلاه، نضرب تكلفة السياج بالمحيط المُقاس بالمتر:

3600 × 1.75 دولار = 6300 دولار

  • مثال: لوحة مستطيلة الشكل، بقياس 8 م مقابل 6 م، يريد زياد إضافة إطار حول هذه اللوحة، فما هو طول الذي سيحتاجه لكي يضع هذا الإطار؟ وإذا كانت تكلفة الإطار هي 15 دولارًا للمتر الواحد، فما المبلغ الذي يحتاجه زياد لشراء الإطار؟

الحل: كالمثال السابق، علينا أولًا الوصول لقيمة المحيط

2×(8 + 6) =P

ومنه تكون قمة المحيط 28 م.

من نص السؤال، تكلفة الشريط 15 دولارًا للمتر، لذلك، التكلفة الإجمالية لإطار طوله 28 مترًا = 15 × 28 = 420 دولارًا.

  • مثال: مستطيل مساحته 20 سم²، ما القيمة المتوقعة للمحيط؟

الحل: حسب علاقة مساحة المستطيل، والتي هي حاصل ضرب الطول بالعرض، فإن القيمة المتوقعة الأقرب لكل من القيمتين هي 4 سم و 5 سم، ومنه نحسب المحيط من العلاقة 2×(الطول + العرض)، فيكون المحيط مساويًا 2×(4+5) ومنه نصل للمحيط والذي يساوي 18 سم.§