المعادلات اللوغاريتمية هي عبارةٌ عن مجموعة المعادلات التي تتضمن العبارات الجبرية اللوغاريتمية، حيث يتم تعريف اللوغاريتم من خلال العلاقة (Y = logb (x إذا وفقط إذا كان by = x وهي العلاقة الأساسية للوغاريتم، حيث قد تواجهنا عدة حالاتٍ؛ فقد تحتوي المعادلة على لوغاريتم واحد أو أكثر، ففي حال كانت المعادلة تتضمن لوغاريتمًا واحدًا في إحدى طرفيها وثابتًا في الطرف الثاني، عندئذٍ يؤول حل المعادلات اللوغاريتمية تلك إلى حل المعادلات الأسيّة المكافئة لها.

مثلًا؛ عندما log2 (x) = 2، تكون x = 22؛ أي x = 4، أما إذا احتوى أحد طرفي المعادلة على أكثر من لوغاريتم، يكون الحل من خلال استخدام خصائص اللوغاريتمات لاختصارها إلى لوغاريتمٍ واحدٍ واتباع الطريقة السابقة نفسها.1

مفاهيم أولية

عند القول إنّ log (x) = 3، فهذا يعني وضوحًا أنّ الأساس b هو 10؛ أي أنّ العبارة بدقةٍ هي log10 (x) = 3، ولكن في العلوم عامة يستخدم عادةً الأساس e (حيث e هو العدد النبّري ويساوي 2.71828) ويطلق على اللوغاريتم حينها باللوغاريتم الطبيعي، ويعبر عنه ب (ln (x) = loge (x ووفق العلاقة الأساسية للوغاريتم يكون:

ln(x) = loge(x) = y إذا وفقط إذا كان ey = x

القواعد الأساسية للوغاريتم

وباعتبار أنّ y هو أي عددٍ حقيقيٍّ موجب:2

مع الانتباه إلى أنّ:

وفقًا لما ذكرناه سابقًا فإنّ:3

طرق حل المعادلات اللوغاريتمية

حل المعادلات اللوغاريتمية البسيطة (عزل اللوغاريتم)

نقوم بعزل اللوغاريتم، وذلك من خلال تحويل المعادلة إلى طرفين أحدهما يحوي الحدود اللوغاريتمية، والآخر يحوي الحدود الثابتة، على سبيل المثال في حال كانت لدينا المعادلة:

Log3(x+5) + 6 = 10
Log3(x+5) + 6 – 6 = 10 – 6
Log3(x+5) = 4

بالمقارنة مع المعادلة الأساسية للوغاريتم ينتج لدينا أنّ:

34 = x + 5

نقوم الآن بتبسيط المعادلة إلى أبسط شكلٍ ممكنٍ واستخراج قيمة x، أي:

81 = x + 5
81 – 5 = x + 5 – 5
x = 76

حل المعادلات اللوغاريتمية بالاعتماد على قاعدة الضرب

تنص هذه القاعدة على أنّ لوغاريتم حاصل ضرب عددين يساوي لوغاريتم العدد الأول زائد لوغاريتم العدد الثاني ويعبر عن ذلك بالعلاقة:

(Logb (m * n) = logb (m) + logb (n

لنسمّيها العلاقة (1) لاستخدامها لاحقًا، مع الأخذ بالاعتبار أنّ m > 0 و n > 0، ثم نقوم بعزل الحدود الثابتة إلى أحد طرفي المعادلة وعزل الحدود التي تحوي اللوغاريتمات إلى الطرف الثاني فمثلًا في حال كان لدينا:

(Log4(x+6) = 2 – log4(x
(log4(x+6) + log4(x) = 2 – log4(x) + log4(x
log4(x+6) + log4(x) = 2

بعد ذلك نطبق القاعدة (1) لتصبح المعادلة بالشكل:

Log4[(x+6).x)] = 2
Log4(x2+6x) = 2

بالاعتماد على المعادلة الأساسية للوغاريتم نقوم باستخراج وحساب قيمة x فيكون:

42 = x2 + 6x

وهنا أصبح لدينا معادلة من الدرجة الثانية نقوم بحلها وفق المعتاد:

42 = x2 + 6x
16 = x2 + 6x
16 – 16 = x2 + 6x – 16
0 = x2 + 6x – 16
0 = (x–2).(x+8)

أي أنّ x لها حلّان:

إمّا x = -8
أو x = 2

لكن الحل x = -8 مرفوض؛ لأنّه من غير الممكن أن يكون هناك حل سالب للوغاريتم، بالتالي فإنّ الحلّ الصحيح هو x = 2.

حل المعادلات اللوغاريتمية بالاعتماد على قاعدة القسمة

تنص هذه القاعدة في حل المعادلات اللوغاريتمية على أنّ لوغاريتم حاصل قسمة عددين يساوي لوغاريتم المقام مطروحًا من لوغاريتم البسط باعتبار أنّ البسط والمقام أكبر من الصفر. بدايةً وكالمعتاد، نقوم بنقل الحدود التي تحوي اللوغاريتمات إلى أحد طرفي المعادلة والحدود الثابتة إلى الطرف الآخر فمثلًا لو كان لدينا.

(Log3(x+6) = 2 + log3(x-2
(Log3(x+6) – log3(x–2) = 2 + log3(x–2) – log3(x–2
Log3(x+6) – log3(x–2) = 2

نقوم الآن بتطبيق قاعدة لوغاريتم حاصل قسمة عددين فتصبح المعادلة:

Log3[(x+6)/(x–2)] = 2

الآن، وبالعودة إلى العلاقة الأساسية للوغاريتم يكون لدينا:

32 = (x+6)/(x–2)

نقوم الآن بتبسيط شكل المعادلة وحساب قيمة x:4

المراجع

  • 1 Logarithmic Equations، من موقع: www.chegg.com، اطّلع عليه بتاريخ February/16/2020 | 09:29 AM
  • 2 Solving Logarithmic Equations، من موقع: brilliant.org، اطّلع عليه بتاريخ February/16/2020 | 09:29 AM
  • 3 Math Insight، من موقع: mathinsight.org، اطّلع عليه بتاريخ February/16/2020 | 09:46 AM
  • 4 How to Solve Logarithms، من موقع: www.wikihow.com، اطّلع عليه بتاريخ February/16/2020 | 09:46 AM