مساحة الاسطوانة (مع أمثلة مشروحة)

الموسوعة » رياضيات » مساحة الاسطوانة (مع أمثلة مشروحة)

تقسم الهندسة بشكلٍ عامٍ إلى قسمين رئيسين هما، الهندسة المستوية والهندسة الفراغية، فالهندسة المستوية هي عبارةٌ عن قسمٍ يختص بالأشكال المسطحة والتي لها بعدان فقط، الطول والعرض، وبالتالي من الممكن تمثيلها على قطعةٍ ورقيةٍ ومن أمثلتها المضلعات والخطوط والمنحنيات وغيرها، أما عن الهندسة الفراغية فهي تتعامل مع أنواع الأشكال ثلاثية الأبعاد، وبالتالي فإنّ عملية قياسها وحساباتها تتم وفق ثلاثة أبعاد، طول وعرض وسماكة أو ارتفاع، وتضم الهندسة ثلاثية الأبعاد أشكالًا مثل المكعبات والاسطوانات والمخاريط وغيرها، وبالتالي، فإنّ الاختلاف الموجود بين الأشكال ثلاثية الأبعاد وثنائية الأبعاد هو السماكة التي تمتاز بها الأشكال الثلاثية. مقالُنا اليوم عن أحد هذه الأشكال وهي الاسطوانة، كيف نحسب مساحة الاسطوانة بنوعيها الرئيسيين؟ تابع معي.§.

الاسطوانة

الاسطوانة هي عبارةٌ عن شكل مجسمٍ ثلاثي الأبعاد، يتميز بسطحٍ جانبيٍّ منحني الشكل وقاعدةٍ علويةٍ دائرية وأخرى سفلية مطابقة لها، حيث أنّ هاتين القاعدتين متوازيتان دائمًا، كما يخلو الشكل الاسطواني من أية رؤوسٍ.§.

أبعاد الاسطوانة

  • ارتفاع الاسطوانة: وهو عبارةٌ عن المسافة العمودية الواصلة بين قاعدتي الاسطوانة.
  • نصف قطر الاسطوانة: وهي عبارةٌ عن نصف قطر قاعدة الاسطوانة، وتكون متماثلةً لكلا القاعدتين.
  • محور الاسطوانة: هو عبارةٌ عن الخط الواصل بين مركزي قاعدتي الاسطوانة.§.

أنواع الاسطوانة

للاسطوانة نوعان، الاسطوانة القائمة والاسطوانة المائلة، ففي الاسطوانة القائمة، تكون القاعدتان الدائريتان لها متوازيتين ومتقابلتين مباشرةً، ويشكل محور الاسطوانة مع القاعدة زاويةً قائمةً، أما الاسطوانة المائلة فهي الاسطوانة الناتجة عن انزياح إحدى قاعدتي الاسطوانة بحيث لا يشكل محورها زاويةً قائمةً مع القاعدة. ويصل بين القاعدتين الدائريتين للاسطوانة سطح منحني ينتج عنه شكل مستطيل إذا قمنا بفتحة وهو الذي يسمى السطح الجانبي للاسطوانة.

مساحة الاسطوانة
أنواع الاسطوانة (قائمة ومائلة)

مساحة الاسطوانة القائمة الكلية

المساحة السطحية للاسطوانة هي عبارةٌ عن مساحة الحيز الذي يشغله سطح الاسطوانة في فراغٍ ثلاثي الأبعاد، وبالتالي، فإنّ مفهوم مساحة الاسطوانة هو عبارةٌ عن مساحةٍ سطحها كاملًا، بما في ذلك السطح الجانبي المنحني مضافًا إليه مساحتي القاعدتين الدائريتين، ويعبر عن هذه المساحة كما هو الحال مع أي مساحةٍ أخرى بواحداتٍ مربعةٍ مثل cm2 أو m2 وغير ذلك.

إذن، المساحة الكلية للاسطوانة القائمة هي عبارة عن مجموع مساحتي القاعدتين مضافًا إليهما مساحة السطح الجانبي، فباعتبار أنّ نصف قطر قاعدة الاسطوانة الدائرية هو r، وارتفاع هذه الاسطوانة هو h، ستكون لدينا العلاقة التي تعبر عن مساحة قاعدة الاسطوانة هي A1 = π * r2.

وبما أنّ السطح الجانبي للاسطوانة هو عبارةٌ عن السطح الناتج عن فتح الاسطوانة، وسيظهر بشكلٍ مستطيلٍ طول قاعدته (عرضه) هو محيط قاعدة الاسطوانة (2πr)، وارتفاعه (طوله) هو ارتفاع الاسطوانة h، وستكون المساحة الجانبية للاسطوانة هي طول المستطيل * عرضه: A2 = 2π * r * h.

وبالتالي تصبح المساحة الكلية للاسطوانة As:

As = 2 * A1 + A2
As = 2π * r2 + 2π * r * h
(As = 2π * r * (r + h.§.

مثال عن حساب مساحة الاسطوانة القائمة الكلية

لإيجاد مساحة السطح الكلي لاسطوانةٍ قائمةٍ قطرها cm 28 وارتفاعها 15 cm سيكون لدينا h = 15 cm و d = 28 cm:

بدايةً نقوم بحساب نصف قطر قاعدة الاسطوانة r:
r = 0.5 * d = 0.5 * 28 = 14 cm
ثم نعوض هذه القيم في معادلة المساحة الكلية لسطح الاسطوانة
(As= 2π * r * (h + r
(As = 2 * 3.14 * 14 * (15 + 14
As = 2552 cm2.§.

مساحة الاسطوانة المائلة الكلية

يعطى ارتفاع الاسطوانة المائلة بالعلاقة: (h = l * sin(x، حيث أنّ h هي ارتفاع الاسطوانة المائلة و x هي الزاوية التي يصنعها الضلع الجانبي المائل مع قاعدة الاسطوانة و l هي طول هذا الضلع.

وتعطى معادلة المساحة الجانبية للاسطوانة المائلة بالعلاقة:
Al = 2π * r * l، حيث أنّ Al هي المساحة الجانبية للاسطوانة المائلة، و l هي ضلع الاسطوانة الجانبي المائل، و r هو نصف قطر قاعدة الاسطوانة.

أما المساحة الكلية للاسطوانة المائلة فهي تُعطى بالعلاقة:
As = l + 2π * r2

مثال عن حساب مساحة الاسطوانة المائلة الكلية

لحساب المساحة السطحية الكلية لاسطوانة مائلة طول ضلعها الجانبي المائل 5.5in وطول قطرها 5.2in أي: l = 5.5in , d = 5.2in:

نعوض في معادلة مساحة السطح الكلي للاسطوانة المائلة فيكون:
As = l + 2π * r2
حيث أنّ نصف قطر قاعدة الاسطوانة هو r = 0.5 * d = 0.5 *5.2 =2.6in
وبالتالي:
As = 5.5 + 2π * 2.62 = 47.9 in2.§.

216 مشاهدة